Номер 12.20, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.20. Параллельные прямые $a$, $b$ и $c$ не лежат в одной плоскости. Расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно 25 см, а между прямыми $b$ и $c$ — 17 см. Расстояние между прямой $b$ и плоскостью, в которой лежат прямые $a$ и $c$, равно 15 см. Найдите расстояние между прямыми $a$ и $c$.

Пусть a, b и c — три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. Пусть α — плоскость, которая определяется параллельными прямыми a и c. Поскольку прямая b параллельна прямой a, а прямая a лежит в плоскости α, то прямая b параллельна плоскости α.

Для решения задачи спроецируем данные прямые на плоскость Π, перпендикулярную им. Проекциями прямых a, b и c на плоскость Π будут три различные точки, назовём их A, B и C. Так как прямые не лежат в одной плоскости, точки A, B и C не будут лежать на одной прямой, а значит, образуют треугольник ABC.

Расстояние между параллельными прямыми в пространстве равно расстоянию между их проекциями на перпендикулярную плоскость. Исходя из этого, условия задачи можно перенести на треугольник ABC на плоскости Π:

• Расстояние между прямыми a и b равно длине стороны AB: $AB = 25$ см.
• Расстояние между прямыми b и c равно длине стороны BC: $BC = 17$ см.

Расстояние между прямой b и плоскостью α (в которой лежат a и c) равно расстоянию от точки B до прямой AC на плоскости Π. Это расстояние является высотой треугольника ABC, проведённой из вершины B к стороне AC. Обозначим эту высоту как BH, где H — основание высоты, лежащее на прямой AC. По условию, $BH = 15$ см.

Искомое расстояние между прямыми a и c равно длине стороны AC треугольника ABC.

Высота BH делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника: ABH и CBH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: $AH^2 + BH^2 = AB^2$ $AH^2 + 15^2 = 25^2$ $AH^2 + 225 = 625$ $AH^2 = 400$ $AH = \sqrt{400} = 20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. По теореме Пифагора: $CH^2 + BH^2 = BC^2$ $CH^2 + 15^2 = 17^2$ $CH^2 + 225 = 289$ $CH^2 = 64$ $CH = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь необходимо найти длину стороны AC. Её длина зависит от расположения точки H (основания высоты) относительно отрезка AC. Возможны два случая.

Случай 1: Точка H лежит между точками A и C. Это соответствует треугольнику ABC, в котором углы при вершинах A и C острые. В этом случае длина AC равна сумме длин отрезков AH и CH: $AC = AH + CH = 20 + 8 = 28$ см.

Случай 2: Точка H лежит на прямой AC, но вне отрезка AC. Это соответствует треугольнику ABC, в котором один из углов при основании (A или C) тупой. В этом случае длина AC равна модулю разности длин отрезков AH и CH: $AC = |AH - CH| = |20 - 8| = 12$ см.

Оба случая являются геометрически возможными и не противоречат условиям задачи. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 28 см или 12 см.