Номер 12.27, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.27. Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ удалена от плоскости $\alpha$ на $3\sqrt{7}$ см. Найдите проекцию диагонали $BD$ на плоскость $\alpha$, если $BD = 24$ см.

Пусть $ABCD$ — данный ромб. Обозначим точку пересечения его диагоналей как $O$. Согласно свойствам ромба, его диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Таким образом, $AC \perp BD$, а точка $O$ является серединой обеих диагоналей.

Из условия задачи известно, что диагональ $AC$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как точка $O$ принадлежит диагонали $AC$, то и точка $O$ лежит в плоскости $\alpha$.

Длина диагонали $BD$ составляет 24 см. Поскольку $O$ — середина $BD$, мы можем найти длины отрезков $BO$ и $OD$:$BO = OD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

Проекцией точки на плоскость является основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Пусть $B'$ — это проекция точки $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда длина отрезка $BB'$ — это расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, которое по условию равно $3\sqrt{7}$ см. Так как $BB'$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, то угол $\angle BB'O$ — прямой, а треугольник $\triangle OBB'$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OBB'$:

• $OB$ — гипотенуза, $OB = 12$ см.
• $BB'$ — катет, $BB' = 3\sqrt{7}$ см.
• $OB'$ — второй катет, который является проекцией отрезка $OB$ на плоскость $\alpha$.

Найдем длину катета $OB'$ по теореме Пифагора: $OB^2 = OB'^2 + BB'^2$.$OB'^2 = OB^2 - BB'^2 = 12^2 - (3\sqrt{7})^2 = 144 - 9 \cdot 7 = 144 - 63 = 81$.$OB' = \sqrt{81} = 9$ см.

Проекцией диагонали $BD$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $B'D'$, где $B'$ и $D'$ — проекции точек $B$ и $D$ соответственно. Так как точка $O$ лежит на прямой $BD$ и является ее серединой, ее проекция (которая является самой точкой $O$, так как $O \in \alpha$) будет серединой проекции $B'D'$.Следовательно, длина всей проекции $B'D'$ равна удвоенной длине ее половины $OB'$:$B'D' = 2 \cdot OB' = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Ответ: 18 см.