Номер 12.34, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.34. Ребро $DC$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Точка $M$ — середина ребра $AD$. На отрезках $DC$ и $BM$ отметили соответственно точки $E$ и $P$ так, что отрезок $EP$ — общий перпендикуляр прямых $DC$ и $BM$. Найдите отношение $MP : PB$, если $\angle ACB = 90^\circ$ и $\angle BAC = 30^\circ$.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $C$. Поскольку ребро $DC$ перпендикулярно плоскости $ABC$ и $\angle ACB = 90^\circ$, мы можем направить оси координат вдоль ребер тетраэдра: ось $Ox$ — вдоль луча $CA$, ось $Oy$ — вдоль луча $CB$ и ось $Oz$ — вдоль луча $CD$.

Пусть длины ребер $AC = a$, $BC = b$ и $DC = h$. Тогда вершины тетраэдра имеют следующие координаты:$C(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$, $D(0, 0, h)$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом при вершине $C$) по условию $\angle BAC = 30^\circ$. Отсюда следует соотношение между катетами:$\text{tg}(\angle BAC) = \frac{BC}{AC} = \frac{b}{a}$.Поскольку $\text{tg}(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем $\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, что означает $a = b\sqrt{3}$.

Точка $M$ является серединой ребра $AD$. Найдем ее координаты, используя формулу для координат середины отрезка:$M = \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+h}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, \frac{h}{2}\right)$.

Точка $E$ лежит на отрезке $DC$, который совпадает с осью $Oz$. Следовательно, ее координаты $E(0, 0, z_E)$ для некоторого $z_E \in [0, h]$.
Точка $P$ лежит на отрезке $BM$. Чтобы найти ее координаты, зададим прямую $BM$ параметрически. Направляющий вектор прямой $\vec{BM}$ равен:$\vec{BM} = M - B = \left(\frac{a}{2} - 0, 0 - b, \frac{h}{2} - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, -b, \frac{h}{2}\right)$.Тогда координаты любой точки $P$ на отрезке $BM$ можно представить в виде:$\vec{P} = \vec{B} + t \cdot \vec{BM}$ для некоторого параметра $t \in [0, 1]$.$\vec{P} = (0, b, 0) + t\left(\frac{a}{2}, -b, \frac{h}{2}\right) = \left(\frac{at}{2}, b(1-t), \frac{ht}{2}\right)$.

По условию, отрезок $EP$ является общим перпендикуляром к прямым $DC$ и $BM$. Это означает, что вектор $\vec{EP}$ перпендикулярен направляющим векторам обеих прямых.
Найдем вектор $\vec{EP}$:$\vec{EP} = P - E = \left(\frac{at}{2} - 0, b(1-t) - 0, \frac{ht}{2} - z_E\right) = \left(\frac{at}{2}, b(1-t), \frac{ht}{2} - z_E\right)$.
Направляющий вектор прямой $DC$ (оси $Oz$) можно взять как $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Из условия $\vec{EP} \perp DC$ следует, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю:$\vec{EP} \cdot \vec{k} = 0$
$\left(\frac{at}{2}, b(1-t), \frac{ht}{2} - z_E\right) \cdot (0, 0, 1) = 0$
$1 \cdot \left(\frac{ht}{2} - z_E\right) = 0 \implies z_E = \frac{ht}{2}$.
Теперь мы можем выразить вектор $\vec{EP}$ только через параметр $t$:$\vec{EP} = \left(\frac{at}{2}, b(1-t), 0\right)$.

Из условия $\vec{EP} \perp BM$ следует, что $\vec{EP} \cdot \vec{BM} = 0$:$\left(\frac{at}{2}, b(1-t), 0\right) \cdot \left(\frac{a}{2}, -b, \frac{h}{2}\right) = 0$
$\frac{at}{2} \cdot \frac{a}{2} + b(1-t) \cdot (-b) + 0 \cdot \frac{h}{2} = 0$
$\frac{a^2 t}{4} - b^2(1-t) = 0$
$\frac{a^2 t}{4} = b^2(1-t)$
$a^2 t = 4b^2 - 4b^2 t$
$t(a^2 + 4b^2) = 4b^2$
$t = \frac{4b^2}{a^2 + 4b^2}$.

Теперь используем соотношение $a = b\sqrt{3}$, или $a^2 = 3b^2$, чтобы найти числовое значение $t$:$t = \frac{4b^2}{3b^2 + 4b^2} = \frac{4b^2}{7b^2} = \frac{4}{7}$.

Параметр $t$ определяет, в каком отношении точка $P$ делит отрезок $BM$. Из векторного равенства $\vec{P} = \vec{B} + t \cdot \vec{BM}$ следует, что $\vec{BP} = t \cdot \vec{BM}$. Соответственно, $\vec{PM} = \vec{BM} - \vec{BP} = (1-t)\vec{BM}$.
Искомое отношение длин отрезков $MP$ и $PB$ равно:$\frac{MP}{PB} = \frac{|(1-t)\vec{BM}|}{|t\vec{BM}|} = \frac{1-t}{t}$.
Подставляя найденное значение $t = 4/7$:$\frac{MP}{PB} = \frac{1 - 4/7}{4/7} = \frac{3/7}{4/7} = \frac{3}{4}$.
Следовательно, отношение $MP : PB$ равно $3:4$.

Ответ: $3:4$.