Номер 12.28, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.28. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ удалена от плоскости $\alpha$ на $5$ см. Проекции отрезков $AB$ и $BC$ на плоскость $\alpha$ равны соответственно $12$ см и $15$ см, $AC = 9$ см. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Пусть $H$ – это проекция точки $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $BH$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, и его длина равна расстоянию от точки $B$ до плоскости, то есть $BH = 5$ см.

Так как сторона $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, то проекциями отрезков $AB$ и $BC$ на эту плоскость будут отрезки $AH$ и $CH$ соответственно. По условию, $AH = 12$ см, $CH = 15$ см. Также дано, что $AC = 9$ см.

Рассмотрим треугольник $AHC$, лежащий в плоскости $\alpha$. Проверим его на прямоугольность с помощью обратной теоремы Пифагора: $AC^2 + AH^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. $CH^2 = 15^2 = 225$. Поскольку $AC^2 + AH^2 = CH^2$, треугольник $AHC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Следовательно, $AC \perp AH$.

По определению перпендикуляра к плоскости, $BH$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $\alpha$, значит, $BH \perp AC$. Таким образом, прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AH$ и $BH$) плоскости $ABH$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $ABH$.

Поскольку отрезок $AB$ лежит в плоскости $ABH$, то из перпендикулярности $AC$ к этой плоскости следует, что $AC \perp AB$. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BAC$.

Для нахождения площади треугольника $ABC$ нам нужны длины его катетов $AC$ и $AB$. Длина $AC$ известна. Длину $AB$ найдем из прямоугольного треугольника $ABH$ (угол $\angle BHA = 90^\circ$, так как $BH \perp \alpha$). По теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = \frac{117}{2} = 58,5$ см².

Ответ: 58,5 см².