Номер 12.31, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.31. В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны 10 см, сторона $AC$ — 12 см. Точка $K$ удалена от каждой из прямых $AB$, $BC$ и $CA$ на 13 см. Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости $ABC$.

Пусть $O$ — проекция точки $K$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда искомое расстояние — это длина отрезка $KO$. Обозначим это расстояние как $h$, то есть $KO = h$.

Расстояние от точки $K$ до прямых, содержащих стороны треугольника, — это длины перпендикуляров, опущенных из точки $K$ на эти прямые. Пусть $M$, $N$ и $P$ — основания этих перпендикуляров на прямых $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. По условию, $KM = KN = KP = 13$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle KOM$, $\triangle KON$ и $\triangle KOP$. Они прямоугольные, так как $KO$ перпендикулярен плоскости $ABC$, а значит, и любой прямой в этой плоскости ($OM$, $ON$, $OP$). У этих треугольников общий катет $KO$ и равные гипотенузы ($KM=KN=KP=13$ см). Следовательно, эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство других катетов: $OM = ON = OP$.

Точка $O$ в плоскости треугольника $ABC$ равноудалена от его сторон, следовательно, $O$ является центром вписанной в треугольник $ABC$ окружности, а отрезки $OM$, $ON$, $OP$ — ее радиусами. Обозначим радиус вписанной окружности как $r$. Таким образом, $OM = r$.

Задача сводится к двум шагам: найти радиус $r$ вписанной окружности треугольника $ABC$, а затем из прямоугольного треугольника $\triangle KOM$ найти катет $KO$.

1. Найдем радиус вписанной окружности $r$ треугольника $ABC$.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Стороны треугольника: $a=10$ см, $b=10$ см, $c=12$ см.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Найдем площадь $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)}$

$S = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{16 \cdot 36 \cdot 4} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{4} = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48$ см$^2$.

Теперь найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см.

Итак, $OM = r = 3$ см.

2. Найдем расстояние от точки $K$ до плоскости $ABC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KOM$. В нем:

• $KM$ — гипотенуза, $KM = 13$ см (по условию).
• $OM$ — катет, $OM = r = 3$ см (как мы нашли).
• $KO$ — катет, искомое расстояние $h$.

По теореме Пифагора:

$KO^2 + OM^2 = KM^2$

$h^2 + 3^2 = 13^2$

$h^2 + 9 = 169$

$h^2 = 169 - 9 = 160$

$h = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см.

Ответ: $4\sqrt{10}$ см.