Номер 12.37, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.37. Диагонали равнобокой трапеции делят её острые углы пополам, а точкой пересечения делятся в отношении $5 : 13$. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 9 см.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC, причем AD > BC. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Высота трапеции $h = 9$ см.

По условию, диагональ AC делит острый угол $\angle DAB$ пополам, то есть $\angle DAC = \angle CAB$.Так как основания трапеции параллельны (AD || BC), то углы $\angle DAC$ и $\angle BCA$ равны как накрест лежащие при секущей AC.Следовательно, $\angle CAB = \angle BCA$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием AC, откуда следует, что боковая сторона $AB$ равна меньшему основанию $BC$, то есть $AB = BC$.

Поскольку трапеция ABCD равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$.Из этого следует, что $AB = BC = CD$. То есть боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. Они подобны по трем углам:
1. $\angle AOD = \angle COB$ (как вертикальные).
2. $\angle OAD = \angle OCB$ (как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC).
3. $\angle ODA = \angle OBC$ (как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BD).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:$\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO}$.По условию, точка пересечения делит диагонали в отношении $5 : 13$. Так как AD - большее основание, то AO и DO - большие отрезки диагоналей. Таким образом, $\frac{AO}{CO} = \frac{13}{5}$.Следовательно, отношение оснований трапеции также равно $\frac{AD}{BC} = \frac{13}{5}$.

Пусть длина меньшего основания $BC = x$. Тогда боковая сторона $AB = x$, а большее основание $AD = \frac{13}{5}x$.Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. В равнобокой трапеции отрезок AH, отсекаемый высотой на большем основании, равен полуразности оснований:$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{\frac{13}{5}x - x}{2} = \frac{\frac{8}{5}x}{2} = \frac{4}{5}x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. По теореме Пифагора:$AB^2 = AH^2 + BH^2$.Подставим известные значения:$x^2 = (\frac{4}{5}x)^2 + 9^2$$x^2 = \frac{16}{25}x^2 + 81$$x^2 - \frac{16}{25}x^2 = 81$$\frac{9}{25}x^2 = 81$$x^2 = \frac{81 \cdot 25}{9} = 9 \cdot 25 = 225$$x = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь найдем длины оснований трапеции:Меньшее основание $BC = x = 15$ см.Большее основание $AD = \frac{13}{5}x = \frac{13}{5} \cdot 15 = 13 \cdot 3 = 39$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$.$S = \frac{39 + 15}{2} \cdot 9 = \frac{54}{2} \cdot 9 = 27 \cdot 9 = 243$ см$^2$.

Ответ: 243 см$^2$.