Номер 12.30, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.30. В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны 13 см, сторона $BC$ — 10 см. Точка $K$ удалена от плоскости $ABC$ на 8 см, а от вершины $A$ — на 10 см. Известно, что прямые $AK$ и $BC$ перпендикулярны.

Найдите расстояние от точки $K$ до прямой $BC$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $AC$ равны ($AB = AC = 13$ см), то треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AM$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $M$ — середина отрезка $BC$. $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMB$ (угол $AMB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину высоты $AM$: $AM^2 = AB^2 - BM^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$. $AM = \sqrt{144} = 12$ см.

Пусть $H$ — проекция точки $K$ на плоскость $ABC$. Тогда $KH$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, и его длина равна расстоянию от точки $K$ до плоскости $ABC$, то есть $KH = 8$ см.

Отрезок $AH$ является проекцией отрезка $AK$ на плоскость $ABC$. Так как $KH \perp (ABC)$, то $KH \perp AH$, и треугольник $KHA$ является прямоугольным. По теореме Пифагора найдем длину проекции $AH$: $AH^2 = AK^2 - KH^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$. $AH = \sqrt{36} = 6$ см.

По условию, прямая $AK$ перпендикулярна прямой $BC$ ($AK \perp BC$). Так как $AH$ — проекция наклонной $AK$ на плоскость $ABC$, то по теореме о трех перпендикулярах, проекция $AH$ также перпендикулярна прямой $BC$ ($AH \perp BC$).

Мы знаем, что высота $AM$ перпендикулярна $BC$. Поскольку из точки $A$ в плоскости $ABC$ можно провести только один перпендикуляр к прямой $BC$, то прямые $AM$ и $AH$ совпадают. Это означает, что точка $H$ лежит на отрезке $AM$.

Расстояние от точки $K$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на прямую $BC$. Обозначим этот перпендикуляр $KM$, где $M$ — точка на прямой $BC$. Таким образом, $KM \perp BC$.

Отрезок $HM$ является проекцией наклонной $KM$ на плоскость $ABC$. По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $KM$ перпендикулярна прямой $BC$, то и ее проекция $HM$ перпендикулярна прямой $BC$ ($HM \perp BC$).

Поскольку $H$ лежит на $AM$, и $HM \perp BC$, а также $AM \perp BC$, то точка $M$ является основанием высоты, проведенной из вершины $A$. Мы уже определили эту точку ранее.

Найдем длину отрезка $HM$. Так как точки $A, H, M$ лежат на одной прямой, то $HM = AM - AH = 12 - 6 = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $KHM$. Так как $KH \perp (ABC)$, то $KH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, следовательно, $KH \perp HM$. Значит, треугольник $KHM$ — прямоугольный. По теореме Пифагора найдем искомое расстояние $KM$: $KM^2 = KH^2 + HM^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$. $KM = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.