Номер 12.33, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.33. На ребре $AA_1$ и диагонали $B_1D$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $K$ и $M$ так, что отрезок $KM$ — общий перпендикуляр прямых $AA_1$ и $B_1D$. Найдите отношение $B_1M : MD$, если $AB : AD = 1 : 2$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ вдоль ребра $AB$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

По условию задачи $AB : AD = 1 : 2$. Давайте примем длину ребра $AB$ за $a$, тогда длина ребра $AD$ будет $2a$. Высоту параллелепипеда $AA_1$ обозначим как $h$. В выбранной системе координат вершины параллелепипеда будут иметь следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $D(2a, 0, 0)$
• $B_1(0, a, h)$
• $A_1(0, 0, h)$

Точка $K$ расположена на ребре $AA_1$. Следовательно, ее координаты можно записать как $K(0, 0, z_K)$, где $0 \le z_K \le h$.

Точка $M$ лежит на диагонали $B_1D$. Прямую, содержащую эту диагональ, можно описать параметрически. Найдем направляющий вектор этой прямой:$\vec{B_1D} = (D_x - B_{1x}, D_y - B_{1y}, D_z - B_{1z}) = (2a - 0, 0 - a, 0 - h) = (2a, -a, -h)$.

Тогда любая точка $M$ на прямой $B_1D$ может быть представлена в виде:$M = B_1 + t \cdot \vec{B_1D}$ для некоторого скалярного параметра $t$.Координаты точки $M$ будут:$M(0 + t \cdot 2a, a + t \cdot (-a), h + t \cdot (-h)) = (2at, a(1-t), h(1-t))$.

Теперь найдем вектор $\vec{KM}$, соединяющий точки $K$ и $M$:$\vec{KM} = (M_x - K_x, M_y - K_y, M_z - K_z) = (2at - 0, a(1-t) - 0, h(1-t) - z_K)$.$\vec{KM} = (2at, a(1-t), h(1-t) - z_K)$.

По условию, отрезок $KM$ является общим перпендикуляром к прямым $AA_1$ и $B_1D$. Это означает, что вектор $\vec{KM}$ должен быть перпендикулярен направляющим векторам обеих прямых. Это условие можно выразить через скалярное произведение векторов, которое должно быть равно нулю.

1. Условие $KM \perp AA_1$.Направляющий вектор прямой $AA_1$ можно взять как $\vec{u} = (0, 0, 1)$.$\vec{KM} \cdot \vec{u} = 0$$(2at) \cdot 0 + (a(1-t)) \cdot 0 + (h(1-t) - z_K) \cdot 1 = 0$$h(1-t) - z_K = 0 \implies z_K = h(1-t)$.

2. Условие $KM \perp B_1D$.Подставим найденное выражение для $z_K$ в вектор $\vec{KM}$:$\vec{KM} = (2at, a(1-t), h(1-t) - h(1-t)) = (2at, a(1-t), 0)$.Теперь используем условие перпендикулярности векторов $\vec{KM}$ и $\vec{B_1D}$:$\vec{KM} \cdot \vec{B_1D} = 0$$(2at, a(1-t), 0) \cdot (2a, -a, -h) = 0$$(2at)(2a) + (a(1-t))(-a) + (0)(-h) = 0$$4a^2t - a^2(1-t) = 0$$4a^2t - a^2 + a^2t = 0$$5a^2t - a^2 = 0$Поскольку $a$ - это длина ребра, $a \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $a^2$:$5t - 1 = 0$$t = \frac{1}{5}$.

Параметр $t$ определяет положение точки $M$ на отрезке $B_1D$. В частности, он показывает, какую долю отрезка $B_1D$ составляет отрезок $B_1M$.Из векторного соотношения $M = B_1 + t \cdot \vec{B_1D}$ следует, что $\vec{B_1M} = t \cdot \vec{B_1D}$.Значит, длина отрезка $B_1M$ равна $t$ от длины всего отрезка $B_1D$:$|B_1M| = |t| \cdot |B_1D| = \frac{1}{5} |B_1D|$.Тогда длина оставшейся части, отрезка $MD$, составляет:$|MD| = |B_1D| - |B_1M| = |B_1D| - \frac{1}{5} |B_1D| = \frac{4}{5} |B_1D|$.

Теперь мы можем найти искомое отношение:$B_1M : MD = \frac{|B_1M|}{|MD|} = \frac{\frac{1}{5} |B_1D|}{\frac{4}{5} |B_1D|} = \frac{1/5}{4/5} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $1:4$.