Номер 12.32, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.32. Сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна 6 см. Точка $M$ удалена от каждой из прямых $AB$, $BC$ и $CA$ на 14 см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

Пусть $O$ - проекция точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда искомое расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ есть длина перпендикуляра $MO$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть $K$, $L$ и $N$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $M$ на прямые $AB$, $BC$ и $CA$ соответственно. По условию задачи, точка $M$ удалена от каждой из этих прямых на 14 см, следовательно, длины наклонных $MK$, $ML$ и $MN$ равны: $MK = ML = MN = 14$ см.

Отрезки $OK$, $OL$ и $ON$ являются проекциями наклонных $MK$, $ML$ и $MN$ на плоскость $ABC$. Так как перпендикуляр $MO$ общий для прямоугольных треугольников $\triangle MOK$, $\triangle MOL$ и $\triangle MON$, а их гипотенузы $MK$, $ML$ и $MN$ равны, то и катеты $OK$, $OL$ и $ON$ также равны между собой: $OK = OL = ON$.

Поскольку точка $O$, лежащая в плоскости треугольника $ABC$, равноудалена от его сторон, она является центром вписанной в этот треугольник окружности.

Треугольник $ABC$ является равносторонним, поэтому его центр вписанной окружности совпадает с центром тяжести. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности $r$. Таким образом, $OK = r$.

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности вычисляется по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$, где $a$ — сторона треугольника.

Подставим в формулу значение стороны $a = 6$ см: $r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см. Следовательно, $OK = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOK$. Катет $MO$ — это искомое расстояние, катет $OK = r = \sqrt{3}$ см, а гипотенуза $MK = 14$ см. По теореме Пифагора: $MK^2 = MO^2 + OK^2$

Выразим $MO^2$: $MO^2 = MK^2 - OK^2$ $MO^2 = 14^2 - (\sqrt{3})^2$ $MO^2 = 196 - 3$ $MO^2 = 193$ $MO = \sqrt{193}$ см.

Ответ: $\sqrt{193}$ см.