Номер 12.36, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.36. Точка $M$ принадлежит гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Расстояния от точки $M$ до катетов $AC$ и $BC$ равны соответственно 8 см и 4 см. Площадь треугольника $ABC$ равна $100 \text{ см}^2$. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника $ABC$ (с прямым углом $C$) равны $AC = a$ и $BC = b$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. По условию, площадь равна 100 см$^2$, следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$\frac{1}{2}ab = 100$

$ab = 200$

Точка $M$ лежит на гипотенузе $AB$. Проведем из точки $M$ перпендикуляры $MK$ на катет $AC$ и $ML$ на катет $BC$. По условию, длины этих перпендикуляров (расстояния от точки $M$ до катетов) равны $MK = 8$ см и $ML = 4$ см.

Соединим точку $M$ с вершиной прямого угла $C$. Отрезок $CM$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника: $AMC$ и $BMC$. Площадь исходного треугольника равна сумме площадей этих двух треугольников: $S_{ABC} = S_{AMC} + S_{BMC}$.

Площадь треугольника $AMC$ можно найти, используя катет $AC$ как основание. Тогда высота, проведенная к этому основанию из вершины $M$, будет равна перпендикуляру $MK$.

$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 8 = 4a$

Аналогично, для треугольника $BMC$ используем катет $BC$ как основание. Высота, проведенная к этому основанию из вершины $M$, будет равна перпендикуляру $ML$.

$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot ML = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 4 = 2b$

Теперь мы можем составить второе уравнение, используя известную площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = S_{AMC} + S_{BMC}$

$100 = 4a + 2b$

Разделим обе части уравнения на 2:

$50 = 2a + b$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} ab = 200 \\ 2a + b = 50 \end{cases}$

Выразим $b$ из второго уравнения: $b = 50 - 2a$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$a(50 - 2a) = 200$

$50a - 2a^2 = 200$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2a^2 - 50a + 200 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$a^2 - 25a + 100 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 625 - 400 = 225 = 15^2$

Найдем корни уравнения для $a$:

$a_1 = \frac{-(-25) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 15}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$a_2 = \frac{-(-25) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{25 - 15}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Теперь найдем соответствующие значения для $b$, используя формулу $b = 50 - 2a$:

1. Если $a_1 = 20$ см, то $b_1 = 50 - 2 \cdot 20 = 50 - 40 = 10$ см.

2. Если $a_2 = 5$ см, то $b_2 = 50 - 2 \cdot 5 = 50 - 10 = 40$ см.

Таким образом, мы получили две возможные пары длин катетов: (20 см, 10 см) и (5 см, 40 см). Обе пары удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: катеты треугольника равны 20 см и 10 см, или 40 см и 5 см.