Номер 12.29, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.29. Сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна 6 см. Точка $M$ удалена от плоскости $ABC$ на 1 см, а от вершины $B$ — на 2 см. Известно, что прямые $MB$ и $AC$ перпендикулярны. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AC$.

Пусть $H$ — проекция точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезок $MH$ является перпендикуляром к плоскости $ABC$, и его длина равна расстоянию от точки $M$ до этой плоскости, то есть $MH = 1$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MHB$ (угол $MHB$ прямой, так как $MH$ перпендикулярен любой прямой в плоскости $ABC$, в том числе и $HB$). По условию, расстояние от точки $M$ до вершины $B$ равно $MB = 2$ см. По теореме Пифагора:

$MB^2 = MH^2 + BH^2$

$2^2 = 1^2 + BH^2$

$4 = 1 + BH^2$

$BH^2 = 3$

$BH = \sqrt{3}$ см.

По условию, прямые $MB$ и $AC$ перпендикулярны. Отрезок $HB$ является проекцией наклонной $MB$ на плоскость $ABC$. По теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($MB$) перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости ($AC$), то и ее проекция ($HB$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $HB \perp AC$.

В равностороннем треугольнике $ABC$ проведем высоту $BL$ к стороне $AC$. Так как треугольник равносторонний, высота $BL$ также является медианой и биссектрисой. По определению высоты, $BL \perp AC$.

Поскольку из точки $B$ к прямой $AC$ можно провести только один перпендикуляр в плоскости $ABC$, а мы имеем $HB \perp AC$ и $BL \perp AC$, то точка $H$ должна лежать на прямой $BL$.

Найдем длину высоты $BL$ равностороннего треугольника со стороной $a = 6$ см:

$BL = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Мы знаем, что точка $H$ лежит на прямой $BL$ и расстояние $BH = \sqrt{3}$ см. Возможны два случая расположения точки $H$ на прямой $BL$ относительно точек $B$ и $L$:

1. Точка $H$ лежит на отрезке $BL$.
2. Точка $B$ лежит на отрезке $HL$.

Расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $AC$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $K$. Таким образом, искомое расстояние — это длина отрезка $MK$, причем $MK \perp AC$.

Рассмотрим наклонную $MK$ и ее проекцию $HK$ на плоскость $ABC$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $MK$ перпендикулярна прямой $AC$, то и ее проекция $HK$ перпендикулярна прямой $AC$.

Так как точка $H$ лежит на прямой $BL$, а $BL \perp AC$, то перпендикуляром из точки $H$ к прямой $AC$ является отрезок $HL$. Это означает, что точка $K$ совпадает с точкой $L$. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $ML$.

Найдем $ML$ из прямоугольного треугольника $MHL$ (угол $MHL$ прямой). По теореме Пифагора: $ML^2 = MH^2 + HL^2$. Мы знаем $MH = 1$ см. Длину $HL$ найдем для каждого из двух случаев.

Случай 1: Точка $H$ лежит на отрезке $BL$.
В этом случае расстояние $HL = BL - BH = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Тогда $ML^2 = 1^2 + (2\sqrt{3})^2 = 1 + 4 \cdot 3 = 1 + 12 = 13$.
$ML = \sqrt{13}$ см.

Случай 2: Точка $B$ лежит на отрезке $HL$.
В этом случае расстояние $HL = BL + BH = 3\sqrt{3} + \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.
Тогда $ML^2 = 1^2 + (4\sqrt{3})^2 = 1 + 16 \cdot 3 = 1 + 48 = 49$.
$ML = \sqrt{49} = 7$ см.

Оба случая удовлетворяют всем условиям задачи, поэтому задача имеет два возможных решения.

Ответ: $\sqrt{13}$ см или 7 см.