gdz.top
Номер 12.23, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
№12.22
№12.23 (с. 143)
Условие. №12.23 (с. 143)
12.23. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что $CD_1 \perp AB_1C_1$.
Решение. №12.23 (с. 143)
Решение 2. №12.23 (с. 143)
Для доказательства того, что прямая $CD_1$ перпендикулярна плоскости $(AB_1C_1)$, необходимо доказать, что прямая $CD_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, этого будет достаточно. В качестве таких прямых выберем $B_1C_1$ и $AB_1$, которые пересекаются в точке $B_1$.
1. Докажем, что $CD_1 \perp B_1C_1$.
Прямая $B_1C_1$ перпендикулярна плоскости грани $(CDD_1C_1)$, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости:
- $B_1C_1 \perp C_1D_1$, так как грань $A_1B_1C_1D_1$ является квадратом.
- $B_1C_1 \perp CC_1$, так как грань $BCC_1B_1$ является квадратом.
Поскольку прямая $B_1C_1$ перпендикулярна плоскости $(CDD_1C_1)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $CD_1$. Таким образом, $CD_1 \perp B_1C_1$.
2. Докажем, что $CD_1 \perp AB_1$.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ параллельны. Прямые $AB_1$ и $DC_1$ являются диагоналями этих граней, и они параллельны ($AB_1 \parallel DC_1$).
Следовательно, для доказательства перпендикулярности $CD_1 \perp AB_1$ достаточно доказать перпендикулярность $CD_1 \perp DC_1$.
Рассмотрим грань $CDD_1C_1$. Эта грань является квадратом. Прямые $CD_1$ и $DC_1$ являются диагоналями этого квадрата. По свойству квадрата, его диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно, $CD_1 \perp DC_1$.
Так как $AB_1 \parallel DC_1$ и $CD_1 \perp DC_1$, то отсюда следует, что $CD_1 \perp AB_1$.
Итак, мы установили, что прямая $CD_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB_1$ и $B_1C_1$, лежащим в плоскости $(AB_1C_1)$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CD_1$ перпендикулярна плоскости $(AB_1C_1)$.
Ответ: Что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 12.23 расположенного на странице 143 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №12.23 (с. 143), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.