Номер 12.17, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.17. Точка $M$ не принадлежит плоскости многоугольника, а её проекцией на плоскость многоугольника является центр окружности, вписанной в многоугольник. Докажите, что точка $M$ равноудалена от сторон данного многоугольника.

Пусть $\alpha$ — плоскость многоугольника, а $M$ — точка, не принадлежащая этой плоскости ($M \notin \alpha$).

По условию, проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$ является точка $O$, которая является центром окружности, вписанной в многоугольник. Это означает, что отрезок $MO$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, то есть $MO \perp \alpha$.

Пусть $a_1, a_2, ..., a_n$ — стороны данного многоугольника. Расстояние от точки до прямой (стороны многоугольника) — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Рассмотрим произвольную сторону многоугольника, например, $a_i$. Поскольку $O$ — центр вписанной окружности, расстояние от точки $O$ до любой стороны многоугольника равно радиусу этой окружности. Обозначим этот радиус как $r$.

Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OK_i$ к стороне $a_i$. Тогда $OK_i \perp a_i$ и длина этого перпендикуляра $OK_i = r$.

Теперь соединим точку $M$ с точкой $K_i$. Мы получили:

• $MO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$.
• $MK_i$ — наклонная к плоскости $\alpha$.
• $OK_i$ — проекция наклонной $MK_i$ на плоскость $\alpha$.

Поскольку прямая $a_i$, лежащая в плоскости $\alpha$, перпендикулярна проекции $OK_i$ ($OK_i \perp a_i$), то по теореме о трёх перпендикулярах прямая $a_i$ перпендикулярна и самой наклонной $MK_i$. То есть, $MK_i \perp a_i$.

Это означает, что длина отрезка $MK_i$ и есть расстояние от точки $M$ до стороны $a_i$ многоугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOK_i$. Он прямоугольный, так как $MO \perp \alpha$, а значит $MO$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$, в том числе и прямой $OK_i$. По теореме Пифагора:

$MK_i^2 = MO^2 + OK_i^2$

Подставим известные нам значения:

$MK_i^2 = MO^2 + r^2$

Отсюда расстояние от точки $M$ до стороны $a_i$ равно:

$MK_i = \sqrt{MO^2 + r^2}$

Так как длина перпендикуляра $MO$ — это постоянная величина (расстояние от точки $M$ до плоскости), а радиус вписанной окружности $r$ также является постоянной величиной для данного многоугольника, то и расстояние $MK_i$ будет одинаковым для любой стороны $a_i$ многоугольника.

Следовательно, точка $M$ равноудалена от всех сторон данного многоугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.