Страница 143 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.15. Сторона ромба равна 10 см, а одна из диагоналей — 16 см. Точка $M$ находится на расстоянии 5,2 см от каждой прямой, содержащей сторону ромба. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости ромба.

Пусть дан ромб $ABCD$ со стороной $a=10$ см и одной из диагоналей $d_1=16$ см. Диагонали ромба пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

1. Найдем вторую диагональ ромба. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Гипотенуза $AB=a=10$ см. Один из катетов равен половине известной диагонали: $AO = \frac{d_1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $BO$:

$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Тогда вторая диагональ $d_2 = BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 6 = 12$ см.

2. Определим положение проекции точки $M$ на плоскость ромба. Точка $M$ равноудалена от всех прямых, содержащих стороны ромба. Это означает, что ее проекция на плоскость ромба, назовем ее $H$, будет равноудалена от этих же прямых. В ромбе точкой, равноудаленной от всех его сторон, является центр вписанной окружности, который совпадает с точкой пересечения диагоналей $O$. Таким образом, $H=O$. Искомое расстояние от точки $M$ до плоскости ромба — это длина перпендикуляра $MO$.

3. Найдем расстояние от центра ромба $O$ до его стороны. Это расстояние равно радиусу $r$ вписанной в ромб окружности. Радиус $r$ является высотой $OK$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AB$ в треугольнике $\triangle AOB$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см$^2$.

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OK = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot r = 5r$.

Приравнивая выражения для площади, получаем: $5r = 24$, откуда $r = \frac{24}{5} = 4.8$ см. Итак, $OK=4.8$ см.

4. Найдем расстояние от точки $M$ до плоскости ромба. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOK$. В нем:

• $MO$ — катет, равный искомому расстоянию от точки $M$ до плоскости ромба.
• $OK$ — катет, равный расстоянию от проекции точки $M$ (точки $O$) до прямой, содержащей сторону ромба ($OK=r=4.8$ см).
• $MK$ — гипотенуза, равная расстоянию от точки $M$ до прямой, содержащей сторону ромба. По условию $MK=5.2$ см.

По теореме Пифагора: $MO^2 + OK^2 = MK^2$.

$MO^2 = MK^2 - OK^2 = 5.2^2 - 4.8^2$.

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$MO^2 = (5.2 - 4.8)(5.2 + 4.8) = 0.4 \cdot 10 = 4$.

$MO = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.

12.16. Точка $M$ не принадлежит плоскости треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) и находится на расстоянии $2\sqrt{5}$ см от каждой из прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки $M$ на плоскость $ABC$ является точка $O$, принадлежащая данному треугольнику. Точка касания окружности, вписанной в треугольник $ABC$, с гипотенузой $AB$ делит её на отрезки длиной 3 см и 10 см. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$.

Пусть $O$ — проекция точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезок $MO$ является расстоянием от точки $M$ до плоскости $ABC$, и $MO \perp (ABC)$.Расстояние от точки $M$ до прямой, содержащей сторону треугольника (например, $AC$), — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на эту прямую. Обозначим основание этого перпендикуляра как $K$. Таким образом, $MK \perp AC$ и по условию $MK = 2\sqrt{5}$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOK$ (прямой угол $\angle MOK$, так как $MO \perp (ABC)$ и $OK \subset (ABC)$). По теореме о трех перпендикулярах, поскольку наклонная $MK$ перпендикулярна прямой $AC$ в плоскости, то и ее проекция $OK$ на плоскость $ABC$ также перпендикулярна прямой $AC$. Следовательно, $OK$ — это расстояние от точки $O$ до прямой $AC$.По теореме Пифагора для треугольника $\triangle MOK$: $MK^2 = MO^2 + OK^2$.

По условию, точка $M$ равноудалена от всех трех прямых, содержащих стороны треугольника $ABC$. Это означает, что длины перпендикуляров из точки $M$ к этим прямым равны $2\sqrt{5}$ см. Из этого следует, что их проекции на плоскость $ABC$ также равны между собой. То есть точка $O$ равноудалена от сторон треугольника $ABC$.Точка внутри треугольника, равноудаленная от всех его сторон, является центром вписанной окружности (инцентром), а расстояние от нее до сторон равно радиусу вписанной окружности $r$. Таким образом, $O$ — центр вписанной в $\triangle ABC$ окружности, а $OK = r$.Тогда искомое расстояние $MO$ можно найти из соотношения: $MO^2 = MK^2 - OK^2 = (2\sqrt{5})^2 - r^2 = 20 - r^2$.

Найдем радиус $r$ вписанной окружности.Треугольник $ABC$ — прямоугольный ($\angle ACB = 90^\circ$). Пусть вписанная окружность касается гипотенузы $AB$ в точке $D$, а катетов $BC$ и $AC$ в точках $E$ и $F$ соответственно.По условию, точка касания $D$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки длиной 3 см и 10 см. Длина гипотенузы $c = AB = 3 + 10 = 13$ см.По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Пусть $AD = 10$ см и $BD = 3$ см. Тогда:$AF = AD = 10$ см.$BE = BD = 3$ см.Рассмотрим четырехугольник $OECF$. В нем $OE \perp BC$, $OF \perp AC$, $\angle C = 90^\circ$, $OE = OF = r$. Следовательно, $OECF$ — квадрат, и $CE = CF = r$.Тогда длины катетов треугольника $ABC$ равны:$a = BC = BE + EC = 3 + r$$b = AC = AF + FC = 10 + r$Применим теорему Пифагора для треугольника $ABC$: $a^2 + b^2 = c^2$.$(3+r)^2 + (10+r)^2 = 13^2$$9 + 6r + r^2 + 100 + 20r + r^2 = 169$$2r^2 + 26r + 109 = 169$$2r^2 + 26r - 60 = 0$$r^2 + 13r - 30 = 0$Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $r_1 = -15$ и $r_2 = 2$.Поскольку радиус не может быть отрицательным, $r = 2$ см.

Теперь можем найти искомое расстояние $MO$:$MO = \sqrt{20 - r^2} = \sqrt{20 - 2^2} = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

12.17. Точка $M$ не принадлежит плоскости многоугольника, а её проекцией на плоскость многоугольника является центр окружности, вписанной в многоугольник. Докажите, что точка $M$ равноудалена от сторон данного многоугольника.

Пусть $\alpha$ — плоскость многоугольника, а $M$ — точка, не принадлежащая этой плоскости ($M \notin \alpha$).

По условию, проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$ является точка $O$, которая является центром окружности, вписанной в многоугольник. Это означает, что отрезок $MO$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, то есть $MO \perp \alpha$.

Пусть $a_1, a_2, ..., a_n$ — стороны данного многоугольника. Расстояние от точки до прямой (стороны многоугольника) — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Рассмотрим произвольную сторону многоугольника, например, $a_i$. Поскольку $O$ — центр вписанной окружности, расстояние от точки $O$ до любой стороны многоугольника равно радиусу этой окружности. Обозначим этот радиус как $r$.

Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OK_i$ к стороне $a_i$. Тогда $OK_i \perp a_i$ и длина этого перпендикуляра $OK_i = r$.

Теперь соединим точку $M$ с точкой $K_i$. Мы получили:

• $MO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$.
• $MK_i$ — наклонная к плоскости $\alpha$.
• $OK_i$ — проекция наклонной $MK_i$ на плоскость $\alpha$.

Поскольку прямая $a_i$, лежащая в плоскости $\alpha$, перпендикулярна проекции $OK_i$ ($OK_i \perp a_i$), то по теореме о трёх перпендикулярах прямая $a_i$ перпендикулярна и самой наклонной $MK_i$. То есть, $MK_i \perp a_i$.

Это означает, что длина отрезка $MK_i$ и есть расстояние от точки $M$ до стороны $a_i$ многоугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOK_i$. Он прямоугольный, так как $MO \perp \alpha$, а значит $MO$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$, в том числе и прямой $OK_i$. По теореме Пифагора:

$MK_i^2 = MO^2 + OK_i^2$

Подставим известные нам значения:

$MK_i^2 = MO^2 + r^2$

Отсюда расстояние от точки $M$ до стороны $a_i$ равно:

$MK_i = \sqrt{MO^2 + r^2}$

Так как длина перпендикуляра $MO$ — это постоянная величина (расстояние от точки $M$ до плоскости), а радиус вписанной окружности $r$ также является постоянной величиной для данного многоугольника, то и расстояние $MK_i$ будет одинаковым для любой стороны $a_i$ многоугольника.

Следовательно, точка $M$ равноудалена от всех сторон данного многоугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

12.18. Основания равнобокой трапеции равны 16 см и 36 см. Через центр $O$ окружности, вписанной в эту трапецию, к её плоскости проведён перпендикуляр $MO$. Точка $M$ находится на расстоянии 16 см от плоскости трапеции. Найдите расстояние от точки $M$ до сторон трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, в которую вписана окружность с центром в точке O. Основания трапеции $BC = 16$ см и $AD = 36$ см. Так как в трапецию можно вписать окружность, то суммы ее противоположных сторон равны:

$AB + CD = BC + AD$

Поскольку трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$. Тогда:

$2 \cdot AB = 16 + 36 = 52$ см

$AB = CD = 26$ см.

Найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$ равен полуразности оснований:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:

$h = BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$ см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности, т.е. $h = 2r$, где $r$ – радиус вписанной окружности.

$r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Радиус вписанной окружности – это расстояние от ее центра $O$ до любой стороны трапеции.

По условию, из центра $O$ к плоскости трапеции проведен перпендикуляр $MO$, длина которого равна расстоянию от точки $M$ до плоскости трапеции, то есть $MO = 16$ см.

Расстояние от точки $M$ до стороны трапеции – это длина наклонной, проведенной из точки $M$ перпендикулярно к этой стороне. Пусть $K$ – точка касания окружности с одной из сторон трапеции. Тогда $OK$ является перпендикуляром к этой стороне, и $OK = r = 12$ см.

Рассмотрим треугольник $MOK$. Так как $MO$ перпендикулярен плоскости трапеции, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и радиусу $OK$. Следовательно, треугольник $MOK$ – прямоугольный ($\angle MOK = 90^\circ$).

В этом треугольнике $MO$ и $OK$ – катеты, а $MK$ – гипотенуза. Длина $MK$ и есть искомое расстояние от точки $M$ до стороны трапеции. По теореме Пифагора:

$MK = \sqrt{MO^2 + OK^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как центр вписанной окружности $O$ равноудален от всех сторон трапеции (расстояние равно $r$), то и точка $M$ будет равноудалена от всех сторон трапеции. Это расстояние равно 20 см.

Ответ: 20 см.

12.19. Точка $O$ — центр окружности, вписанной в трапецию $ABCD$, $BC \parallel AD$, $AB \perp AD$, $CD = 12$ см, $\angle ADC = 45^\circ$. Отрезок $MO$ — перпендикуляр к плоскости трапеции. Точка $M$ удалена от плоскости трапеции на $6\sqrt{2}$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до сторон трапеции.

Дано:

• $ABCD$ — трапеция, в которую вписана окружность с центром $O$.
• $BC \parallel AD$ — основания.
• $AB \perp AD$ — трапеция прямоугольная.
• $CD = 12$ см.
• $\angle ADC = 45^\circ$.
• $MO \perp$ плоскости трапеции $(ABC)$.
• Расстояние от точки $M$ до плоскости трапеции равно $6\sqrt{2}$ см, что означает $MO = 6\sqrt{2}$ см.

Нужно найти расстояние от точки $M$ до сторон трапеции: $AB, BC, CD, AD$.

1. Нахождение радиуса вписанной окружности

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как трапеция прямоугольная, $AB \perp AD$ и $CH \perp AD$, то $ABCH$ — прямоугольник, и $CH = AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$. Угол $\angle D = 45^\circ$. Высота $CH$ равна: $CH = CD \cdot \sin(\angle D) = 12 \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Высота трапеции $h = CH = AB = 6\sqrt{2}$ см. Поскольку в трапецию вписана окружность, ее диаметр равен высоте трапеции. $d = h = 6\sqrt{2}$ см. Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ равен: $r = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

2. Нахождение расстояния от точки M до сторон трапеции

Расстояние от центра вписанной окружности $O$ до любой стороны трапеции равно радиусу этой окружности, то есть $r = 3\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим расстояние от точки $M$ до одной из сторон, например, до стороны $AD$. Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной $AD$. Тогда $OK \perp AD$ и $OK = r$.

По условию, отрезок $MO$ перпендикулярен плоскости трапеции $(ABC)$. Это значит, что $MO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $OK$. Таким образом, $\triangle MOK$ — прямоугольный.

Мы имеем:

• $MO$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$.
• $MK$ — наклонная к плоскости $(ABC)$.
• $OK$ — проекция наклонной $MK$ на плоскость $(ABC)$.

Так как проекция $OK$ перпендикулярна прямой $AD$ (лежащей в плоскости), то по теореме о трех перпендикулярах, наклонная $MK$ также перпендикулярна прямой $AD$. Следовательно, длина отрезка $MK$ и есть расстояние от точки $M$ до стороны $AD$.

Найдем длину $MK$ из прямоугольного треугольника $\triangle MOK$ по теореме Пифагора: $MK = \sqrt{MO^2 + OK^2}$ $MK = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 \cdot 2 + 9 \cdot 2} = \sqrt{72 + 18} = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$ см.

Так как точка $O$ (центр вписанной окружности) равноудалена от всех сторон трапеции на расстояние $r$, то и точка $M$ будет равноудалена от всех сторон трапеции. Расстояние до каждой из сторон будет равно длине наклонной $MK$.

Таким образом, расстояние от точки $M$ до каждой из сторон $AB, BC, CD, AD$ одинаково и равно $3\sqrt{10}$ см.

Ответ: Расстояние от точки $M$ до каждой из сторон трапеции равно $3\sqrt{10}$ см.

12.20. Параллельные прямые $a$, $b$ и $c$ не лежат в одной плоскости. Расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно 25 см, а между прямыми $b$ и $c$ — 17 см. Расстояние между прямой $b$ и плоскостью, в которой лежат прямые $a$ и $c$, равно 15 см. Найдите расстояние между прямыми $a$ и $c$.

Пусть a, b и c — три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. Пусть α — плоскость, которая определяется параллельными прямыми a и c. Поскольку прямая b параллельна прямой a, а прямая a лежит в плоскости α, то прямая b параллельна плоскости α.

Для решения задачи спроецируем данные прямые на плоскость Π, перпендикулярную им. Проекциями прямых a, b и c на плоскость Π будут три различные точки, назовём их A, B и C. Так как прямые не лежат в одной плоскости, точки A, B и C не будут лежать на одной прямой, а значит, образуют треугольник ABC.

Расстояние между параллельными прямыми в пространстве равно расстоянию между их проекциями на перпендикулярную плоскость. Исходя из этого, условия задачи можно перенести на треугольник ABC на плоскости Π:

• Расстояние между прямыми a и b равно длине стороны AB: $AB = 25$ см.
• Расстояние между прямыми b и c равно длине стороны BC: $BC = 17$ см.

Расстояние между прямой b и плоскостью α (в которой лежат a и c) равно расстоянию от точки B до прямой AC на плоскости Π. Это расстояние является высотой треугольника ABC, проведённой из вершины B к стороне AC. Обозначим эту высоту как BH, где H — основание высоты, лежащее на прямой AC. По условию, $BH = 15$ см.

Искомое расстояние между прямыми a и c равно длине стороны AC треугольника ABC.

Высота BH делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника: ABH и CBH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: $AH^2 + BH^2 = AB^2$ $AH^2 + 15^2 = 25^2$ $AH^2 + 225 = 625$ $AH^2 = 400$ $AH = \sqrt{400} = 20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. По теореме Пифагора: $CH^2 + BH^2 = BC^2$ $CH^2 + 15^2 = 17^2$ $CH^2 + 225 = 289$ $CH^2 = 64$ $CH = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь необходимо найти длину стороны AC. Её длина зависит от расположения точки H (основания высоты) относительно отрезка AC. Возможны два случая.

Случай 1: Точка H лежит между точками A и C. Это соответствует треугольнику ABC, в котором углы при вершинах A и C острые. В этом случае длина AC равна сумме длин отрезков AH и CH: $AC = AH + CH = 20 + 8 = 28$ см.

Случай 2: Точка H лежит на прямой AC, но вне отрезка AC. Это соответствует треугольнику ABC, в котором один из углов при основании (A или C) тупой. В этом случае длина AC равна модулю разности длин отрезков AH и CH: $AC = |AH - CH| = |20 - 8| = 12$ см.

Оба случая являются геометрически возможными и не противоречат условиям задачи. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: 28 см или 12 см.

12.21. Точка $M$ удалена от параллельных прямых $a$ и $b$ соответственно на 10 см и 17 см, а от плоскости, проходящей через прямые $a$ и $b$, — на 8 см. Найдите расстояние между прямыми $a$ и $b$.

Пусть $\alpha$ — плоскость, содержащая параллельные прямые $a$ и $b$. Пусть $H$ — проекция точки $M$ на плоскость $\alpha$. По условию, расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$ равно 8 см, следовательно, длина перпендикуляра $MH = 8$ см.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть $A$ — точка на прямой $a$ такая, что $MA \perp a$, и $B$ — точка на прямой $b$ такая, что $MB \perp b$. По условию, $MA = 10$ см и $MB = 17$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHA$, в котором $\angle MHA = 90^\circ$, так как $MH \perp \alpha$. По теореме о трех перпендикулярах, поскольку наклонная $MA$ перпендикулярна прямой $a$, то и ее проекция $HA$ перпендикулярна прямой $a$. Таким образом, длина отрезка $HA$ является расстоянием от точки $H$ до прямой $a$ в плоскости $\alpha$. Найдем $HA$ по теореме Пифагора:

$HA^2 = MA^2 - MH^2$

$HA = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHB$ ($\angle MHB = 90^\circ$). Проекция $HB$ перпендикулярна прямой $b$, и $HB$ — это расстояние от точки $H$ до прямой $b$. Найдем $HB$ по теореме Пифагора:

$HB^2 = MB^2 - MH^2$

$HB = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь задача сводится к определению расстояния между двумя параллельными прямыми $a$ и $b$ на плоскости $\alpha$, для которых известны расстояния до них от точки $H$ ($HA=6$ см и $HB=15$ см). Расстояние между параллельными прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Существует два возможных случая расположения точки $H$ относительно полосы, образованной прямыми $a$ и $b$.

Случай 1: Проекция H точки M лежит между прямыми a и b.

В этом случае прямые $a$ и $b$ находятся по разные стороны от точки $H$. Расстояние между прямыми равно сумме расстояний от точки $H$ до каждой из прямых.

Расстояние $d(a,b) = HA + HB = 6 + 15 = 21$ см.

Ответ: 21 см.

Случай 2: Проекция H точки M лежит вне полосы между прямыми a и b.

В этом случае прямые $a$ и $b$ находятся по одну сторону от точки $H$. Расстояние между ними равно разности расстояний от точки $H$ до этих прямых (от большего расстояния отнимаем меньшее).

Расстояние $d(a,b) = HB - HA = 15 - 6 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

12.22. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $A_1C$ и $B_1D_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $A_1C$ и $B_1D_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно использовать геометрический или векторный метод.

Способ 1 (геометрический)

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Рассмотрим прямую $BD$ в основании куба. Поскольку грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются параллельными квадратами, а ребра $BB_1$ и $DD_1$ перпендикулярны им, то четырехугольник $BDD_1B_1$ — это прямоугольник. Следовательно, прямая $BD$ параллельна прямой $B_1D_1$.

Таким образом, искомый угол между прямыми $A_1C$ и $B_1D_1$ равен углу между прямыми $A_1C$ и $BD$. Эти прямые также являются скрещивающимися, но мы можем доказать их перпендикулярность.

Для этого воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

1. Прямая $A_1A$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, так как это ребро куба.

2. Отрезок $AC$ является проекцией наклонной $A_1C$ на плоскость $ABCD$.

3. Прямая $BD$ лежит в плоскости $ABCD$.

4. В основании куба лежит квадрат $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AC$) на плоскость перпендикулярна прямой ($BD$), лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная ($A_1C$) перпендикулярна этой прямой.

Следовательно, $A_1C \perp BD$.

Поскольку $BD \parallel B_1D_1$, то $A_1C \perp B_1D_1$. Угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

Способ 2 (векторный)

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$ и осями, направленными вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

Определим координаты вершин, необходимых для нахождения векторов:
$D(0, 0, 0)$
$A(a, 0, 0) \Rightarrow A_1(a, 0, a)$
$C(0, a, 0)$
$B(a, a, 0) \Rightarrow B_1(a, a, a)$
$D_1(0, 0, a)$

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $A_1C$ и $B_1D_1$.
Для прямой $A_1C$ направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{A_1C} = (0-a, a-0, 0-a) = (-a, a, -a)$.
Для прямой $B_1D_1$ направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{B_1D_1} = (0-a, 0-a, a-a) = (-a, -a, 0)$.

Угол $\theta$ между прямыми можно найти через косинус угла между их направляющими векторами. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-a) \cdot (-a) + (a) \cdot (-a) + (-a) \cdot 0 = a^2 - a^2 + 0 = 0$.

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:
$\cos \theta = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$, то $\cos \theta = 0$. Это означает, что векторы перпендикулярны (ортогональны).

Следовательно, угол между прямыми $A_1C$ и $B_1D_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

12.23. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что $CD_1 \perp AB_1C_1$.

Для доказательства того, что прямая $CD_1$ перпендикулярна плоскости $(AB_1C_1)$, необходимо доказать, что прямая $CD_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, этого будет достаточно. В качестве таких прямых выберем $B_1C_1$ и $AB_1$, которые пересекаются в точке $B_1$.

1. Докажем, что $CD_1 \perp B_1C_1$.
Прямая $B_1C_1$ перпендикулярна плоскости грани $(CDD_1C_1)$, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости:

• $B_1C_1 \perp C_1D_1$, так как грань $A_1B_1C_1D_1$ является квадратом.
• $B_1C_1 \perp CC_1$, так как грань $BCC_1B_1$ является квадратом.

Поскольку прямая $B_1C_1$ перпендикулярна плоскости $(CDD_1C_1)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $CD_1$. Таким образом, $CD_1 \perp B_1C_1$.

2. Докажем, что $CD_1 \perp AB_1$.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ параллельны. Прямые $AB_1$ и $DC_1$ являются диагоналями этих граней, и они параллельны ($AB_1 \parallel DC_1$).
Следовательно, для доказательства перпендикулярности $CD_1 \perp AB_1$ достаточно доказать перпендикулярность $CD_1 \perp DC_1$.
Рассмотрим грань $CDD_1C_1$. Эта грань является квадратом. Прямые $CD_1$ и $DC_1$ являются диагоналями этого квадрата. По свойству квадрата, его диагонали взаимно перпендикулярны. Следовательно, $CD_1 \perp DC_1$.
Так как $AB_1 \parallel DC_1$ и $CD_1 \perp DC_1$, то отсюда следует, что $CD_1 \perp AB_1$.

Итак, мы установили, что прямая $CD_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB_1$ и $B_1C_1$, лежащим в плоскости $(AB_1C_1)$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CD_1$ перпендикулярна плоскости $(AB_1C_1)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

12.24. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Точки $E$, $F$ и $M$ — середины рёбер $AB$, $AD$ и $AA_1$, соответственно. Докажите, что $AC_1 \perp EFM$.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Пусть длина ребра куба равна $2$. Тогда координаты вершин куба и заданных точек будут следующими:

$A(0, 0, 0)$
$B(2, 0, 0)$
$D(0, 2, 0)$
$A_1(0, 0, 2)$
$C_1$ — вершина, противоположная $A$, имеет координаты $C_1(2, 2, 2)$.

Точки $E$, $F$ и $M$ — середины ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно. Найдем их координаты:

$E$ — середина $AB$: $E(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = E(1, 0, 0)$.
$F$ — середина $AD$: $F(\frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}) = F(0, 1, 0)$.
$M$ — середина $AA_1$: $M(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2}) = M(0, 0, 1)$.

Чтобы доказать, что прямая $AC_1$ перпендикулярна плоскости $(EFM)$, необходимо доказать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых возьмем $EF$ и $EM$. Для этого найдем координаты векторов $\vec{AC_1}$, $\vec{EF}$ и $\vec{EM}$ и проверим, равно ли их скалярное произведение нулю.

Координаты векторов:

$\vec{AC_1} = \{2-0, 2-0, 2-0\} = \{2, 2, 2\}$
$\vec{EF} = \{0-1, 1-0, 0-0\} = \{-1, 1, 0\}$
$\vec{EM} = \{0-1, 0-0, 1-0\} = \{-1, 0, 1\}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{EF}$:
$\vec{AC_1} \cdot \vec{EF} = (2)(-1) + (2)(1) + (2)(0) = -2 + 2 + 0 = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, следовательно, $AC_1 \perp EF$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{EM}$:
$\vec{AC_1} \cdot \vec{EM} = (2)(-1) + (2)(0) + (2)(1) = -2 + 0 + 2 = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, следовательно, $AC_1 \perp EM$.

Прямые $EF$ и $EM$ пересекаются в точке $E$ и лежат в плоскости $(EFM)$. Так как прямая $AC_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $(EFM)$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC_1$ перпендикулярна плоскости $(EFM)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AC_1 \perp EFM$.