Страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.11. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ провели перпендикуляр $MB$ и наклонные $MA$ и $MC$. Найдите угол между прямой $MC$ и плоскостью $\alpha$, если $MA = 5\sqrt{2}$ см, $MC = 10$ см, а угол между прямой $MA$ и плоскостью $\alpha$ равен $45^\circ$.

По условию задачи, из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведен перпендикуляр $MB$ и наклонные $MA$ и $MC$. Это означает, что $B$ — основание перпендикуляра, а $A$ и $C$ — основания наклонных.

Отрезок $BA$ является проекцией наклонной $MA$ на плоскость $\alpha$, а отрезок $BC$ — проекцией наклонной $MC$ на эту же плоскость.

Углом между прямой (наклонной) и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Таким образом, угол между прямой $MA$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle MAB$, а искомый угол между прямой $MC$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle MCB$.

Поскольку $MB$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $MB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Следовательно, $\triangle MBA$ и $\triangle MBC$ — прямоугольные треугольники с прямыми углами при вершине $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBA$. Нам известны гипотенуза $MA = 5\sqrt{2}$ см и угол $\angle MAB = 45^\circ$. Найдем длину катета $MB$, который является перпендикуляром к плоскости $\alpha$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle MAB) = \frac{MB}{MA}$

Отсюда находим $MB$:

$MB = MA \cdot \sin(\angle MAB) = 5\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBC$. Нам известны длина гипотенузы $MC = 10$ см и длина катета $MB = 5$ см. Нам нужно найти угол $\angle MCB$.

Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle MCB) = \frac{MB}{MC}$

Подставим известные значения:

$\sin(\angle MCB) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Угол в прямоугольном треугольнике, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$.

Следовательно, угол между прямой $MC$ и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

13.12. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ провели перпендикуляр $AH$ и наклонные $AB$ и $AC$, образующие с плоскостью соответственно углы $45^{\circ}$ и $60^{\circ}$. Найдите отрезок $AB$, если $AC = 4\sqrt{3}$ см.

По условию задачи, из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $AH$ и наклонные $AB$ и $AC$. Это означает, что отрезок $AH$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $H$. Следовательно, треугольники $AHC$ и $AHB$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $H$ ($\angle AHC = \angle AHB = 90^\circ$).

Угол между наклонной и плоскостью определяется как угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекцией наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $HC$. Таким образом, угол между наклонной $AC$ и плоскостью $\alpha$ равен $\angle ACH = 60^\circ$. Аналогично, проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $HB$, и угол между наклонной $AB$ и плоскостью $\alpha$ равен $\angle ABH = 45^\circ$.

Для нахождения длины $AB$ необходимо сначала найти длину общего катета $AH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Мы знаем гипотенузу $AC = 4\sqrt{3}$ см и противолежащий катету $AH$ угол $\angle ACH = 60^\circ$. Используя определение синуса в прямоугольном треугольнике, получаем:
$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$
Выразим отсюда $AH$:
$AH = AC \cdot \sin(\angle ACH) = 4\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ)$
Поскольку $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:
$AH = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ см.

Теперь, зная длину катета $AH = 6$ см, рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$. В этом треугольнике нам известен катет $AH$ и противолежащий ему угол $\angle ABH = 45^\circ$. Нам нужно найти гипотенузу $AB$. Снова воспользуемся определением синуса:
$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$
Выразим отсюда $AB$:
$AB = \frac{AH}{\sin(\angle ABH)} = \frac{6}{\sin(45^\circ)}$
Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$AB = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$AB = \frac{12 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

13.13. Из точки $D$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $DA$ и $DB$, образующие с данной плоскостью углы, равные $30^{\circ}$. Угол между проекциями данных наклонных на плоскость $\alpha$ равен $120^{\circ}$. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если $DA = 2$ см.

Пусть $D$ — точка, из которой проведены наклонные, а $\alpha$ — плоскость. Опустим перпендикуляр $DH$ из точки $D$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ является основанием перпендикуляра, а отрезки $HA$ и $HB$ — проекциями наклонных $DA$ и $DB$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. По условию, наклонные $DA$ и $DB$ образуют с плоскостью $\alpha$ углы, равные $30^\circ$. Следовательно, $\angle DAH = 30^\circ$ и $\angle DBH = 30^\circ$.

Треугольники $\triangle DHA$ и $\triangle DHB$ являются прямоугольными, так как $DH$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а значит, и любой прямой в этой плоскости ($DH \perp HA$ и $DH \perp HB$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DHA$. Нам известна длина гипотенузы $DA = 2$ см и острый угол $\angle DAH = 30^\circ$. Мы можем найти длину проекции $HA$: $HA = DA \cdot \cos(\angle DAH) = 2 \cdot \cos(30^\circ)$. Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то: $HA = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Поскольку наклонные $DA$ и $DB$ образуют равные углы с плоскостью $\alpha$, их проекции на эту плоскость равны. Таким образом, $HB = HA = \sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AHB$, который лежит в плоскости $\alpha$. Нам известны длины двух его сторон ($HA = \sqrt{3}$ см и $HB = \sqrt{3}$ см) и угол между ними, который по условию равен $120^\circ$ ($\angle AHB = 120^\circ$). Искомое расстояние между основаниями наклонных — это длина стороны $AB$ этого треугольника.

Применим теорему косинусов для треугольника $\triangle AHB$: $AB^2 = HA^2 + HB^2 - 2 \cdot HA \cdot HB \cdot \cos(\angle AHB)$.

Подставим известные значения: $AB^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(120^\circ)$.

Зная, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получим: $AB^2 = 3 + 3 - 2 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$. $AB^2 = 6 - 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$. $AB^2 = 6 + 3 = 9$.

Отсюда находим длину $AB$: $AB = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

13.14. Из точки $B$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $BA$ и $BC$, образующие с данной плоскостью углы, равные $45^\circ$. Расстояние между основаниями наклонных равно 16 см. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, если угол между наклонными равен $60^\circ$.

Пусть $BH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ — основание перпендикуляра. Длина отрезка $BH$ является искомым расстоянием от точки $B$ до плоскости $\alpha$. Обозначим это расстояние как $h$, то есть $BH = h$.

$BA$ и $BC$ — наклонные, проведенные из точки $B$ к плоскости $\alpha$. Точки $A$ и $C$ — основания наклонных. Отрезки $HA$ и $HC$ являются проекциями наклонных $BA$ и $BC$ на плоскость $\alpha$.

По определению, угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость. По условию, эти углы равны $45^\circ$, следовательно, $\angle BAH = 45^\circ$ и $\angle BCH = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BHA$ и $\triangle BHC$. Углы $\angle BHA$ и $\angle BHC$ являются прямыми, так как $BH$ перпендикулярен плоскости $\alpha$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BHA$: поскольку $\angle BAH = 45^\circ$, то этот треугольник является равнобедренным. Отсюда следует, что катеты равны: $HA = BH = h$. Длину гипотенузы (наклонной $BA$) можно найти, например, через синус угла:$BA = \frac{BH}{\sin(\angle BAH)} = \frac{h}{\sin(45^\circ)} = \frac{h}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = h\sqrt{2}$.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $\triangle BHC$: поскольку $\angle BCH = 45^\circ$, этот треугольник также является равнобедренным. Следовательно, $HC = BH = h$. Длина наклонной $BC$ также равна:$BC = \frac{BH}{\sin(\angle BCH)} = \frac{h}{\sin(45^\circ)} = h\sqrt{2}$.

Таким образом, мы установили, что длины наклонных равны: $BA = BC$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$, образованный наклонными и отрезком, соединяющим их основания, является равнобедренным.

По условию задачи, угол между наклонными $\angle ABC = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен $60^\circ$, является равносторонним. Следовательно, все стороны треугольника $\triangle ABC$ равны: $BA = BC = AC$.

Из условия известно, что расстояние между основаниями наклонных равно $16$ см, то есть $AC = 16$ см.Поскольку $\triangle ABC$ равносторонний, то $BA = BC = AC = 16$ см.

Теперь, зная длину наклонной $BA$, мы можем найти искомое расстояние $h$ из соотношения, полученного ранее:$BA = h\sqrt{2}$$16 = h\sqrt{2}$$h = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.

13.15. Точка $A$ находится на расстоянии $3\sqrt{3}$ см от плоскости $\alpha$. Наклонные $AB$ и $AC$ образуют с плоскостью углы $60^\circ$ и $45^\circ$ соответственно, а угол между наклонными равен $90^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Пусть $H$ — это проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда длина перпендикуляра $AH$ равна расстоянию от точки $A$ до плоскости $\alpha$, то есть $AH = 3\sqrt{3}$ см.

Наклонные $AB$ и $AC$ образуют с их проекциями $HB$ и $HC$ прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ соответственно (с прямым углом при вершине $H$).

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость.
Для наклонной $AB$ этот угол составляет $60^\circ$, то есть $\angle ABH = 60^\circ$. Из прямоугольного треугольника $\triangle AHB$ найдем длину наклонной $AB$:
$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$
$AB = \frac{AH}{\sin(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 6$ см.

Для наклонной $AC$ этот угол составляет $45^\circ$, то есть $\angle ACH = 45^\circ$. Из прямоугольного треугольника $\triangle AHC$ найдем длину наклонной $AC$:
$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$
$AC = \frac{AH}{\sin(45^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{6}$ см.

По условию задачи, угол между наклонными $AB$ и $AC$ равен $90^\circ$, следовательно, треугольник $\triangle BAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Расстояние между основаниями наклонных — это длина отрезка $BC$, который является гипотенузой в $\triangle BAC$. Найдем $BC$ по теореме Пифагора:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$BC^2 = 6^2 + (3\sqrt{6})^2 = 36 + 9 \cdot 6 = 36 + 54 = 90$
$BC = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$ см.

Ответ: $3\sqrt{10}$ см.

13.16. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MA$ и $MB$. Наклонная $MA$ образует с плоскостью $\alpha$ угол $45^\circ$, а наклонная $MB$ — угол $30^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если $MA = 6$ см, а угол между наклонными равен $45^\circ$.

Пусть $M$ — данная точка, не лежащая в плоскости $\alpha$. $MA$ и $MB$ — наклонные к этой плоскости. $A$ и $B$ — основания наклонных. Опустим перпендикуляр $MH$ из точки $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ — основание перпендикуляра, $HA$ — проекция наклонной $MA$ на плоскость $\alpha$, а $HB$ — проекция наклонной $MB$ на плоскость $\alpha$.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Следовательно, $\angle MAH = 45^\circ$ и $\angle MBH = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHA$ (прямой угол $\angle MHA = 90^\circ$):

Длина перпендикуляра $MH$ равна:$MH = MA \cdot \sin(\angle MAH) = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHB$ (прямой угол $\angle MHB = 90^\circ$):

Зная $MH$ и угол $\angle MBH$, найдем длину наклонной $MB$:$MB = \frac{MH}{\sin(\angle MBH)} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(30^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{1/2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. В нем известны две стороны $MA = 6$ см, $MB = 6\sqrt{2}$ см и угол между ними $\angle AMB = 45^\circ$. Мы можем найти третью сторону $AB$ (расстояние между основаниями наклонных) по теореме косинусов:

$AB^2 = MA^2 + MB^2 - 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos(\angle AMB)$

Подставим известные значения:

$AB^2 = 6^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$

$AB^2 = 36 + (36 \cdot 2) - 72\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB^2 = 36 + 72 - \frac{72 \cdot 2}{2}$

$AB^2 = 108 - 72$

$AB^2 = 36$

$AB = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

13.17. Точка $M$ находится на расстоянии $12\text{ см}$ от каждой вершины квадрата $ABCD$, угол между прямой $MA$ и плоскостью квадрата равен $60^\circ$. Найдите расстояние от точки $M$ до стороны квадрата.

Пусть $ABCD$ — данный квадрат, а $M$ — точка, находящаяся на расстоянии 12 см от каждой его вершины. Это означает, что $MA = MB = MC = MD = 12$ см.

Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин квадрата, ее проекция на плоскость квадрата совпадает с центром квадрата — точкой пересечения диагоналей $O$. Следовательно, $MO$ является перпендикуляром к плоскости $(ABCD)$, а отрезки $AO$, $BO$, $CO$, $DO$ являются проекциями наклонных $MA$, $MB$, $MC$, $MD$ соответственно.

Угол между прямой $MA$ и плоскостью квадрата — это угол между наклонной $MA$ и ее проекцией $AO$. По условию, $\angle MAO = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAO$ (угол $\angle MOA = 90^\circ$). Используя тригонометрические соотношения, найдем высоту $MO$ и проекцию $AO$:
Высота $MO = MA \cdot \sin(\angle MAO) = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.
Проекция $AO = MA \cdot \cos(\angle MAO) = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Так как $O$ — центр квадрата, то $AO$ — это половина диагонали $AC$. Значит, вся диагональ $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Зная диагональ квадрата, найдем его сторону $a$. Для квадрата справедлива формула $d = a\sqrt{2}$, где $d$ — диагональ.
$12 = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Расстояние от точки $M$ до стороны квадрата — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на эту сторону. Возьмем, к примеру, сторону $AD$. Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OK$ к стороне $AD$. Так как $O$ — центр квадрата, точка $K$ будет серединой стороны $AD$, а длина $OK$ будет равна половине стороны квадрата:
$OK = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Так как $MO \perp (ABCD)$, а проекция $OK$ наклонной $MK$ перпендикулярна прямой $AD$ ($OK \perp AD$), то и сама наклонная $MK$ перпендикулярна $AD$ ($MK \perp AD$). Таким образом, длина отрезка $MK$ и есть искомое расстояние.

Найдем $MK$ из прямоугольного треугольника $\triangle MOK$ (угол $\angle MOK = 90^\circ$) по теореме Пифагора:
$MK^2 = MO^2 + OK^2$
$MK^2 = (6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2 = (36 \cdot 3) + (9 \cdot 2) = 108 + 18 = 126$
$MK = \sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$ см.

Ответ: $3\sqrt{14}$ см.

13.18. Точка $M$ равноудалена от сторон квадрата $ABCD$, сторона которого равна $9\sqrt{6}$ см, и находится на расстоянии 9 см от плоскости квадрата. Найдите угол между прямой $MA$ и плоскостью квадрата.

Поскольку точка $M$ равноудалена от всех сторон квадрата $ABCD$, ее проекция на плоскость квадрата, точка $O$, является центром квадрата (точкой пересечения диагоналей). Расстояние от точки $M$ до плоскости квадрата — это длина перпендикуляра $MO$. Таким образом, $MO = 9$ см.

Угол между прямой $MA$ и плоскостью квадрата — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость, то есть угол $\angle MAO$. Мы можем найти этот угол из прямоугольного треугольника $\triangle MAO$, где $\angle MOA = 90^\circ$.

Для этого нам нужно найти длину катета $OA$. Точка $O$ — центр квадрата, поэтому $OA$ — это половина диагонали $AC$.

Сторона квадрата $a = 9\sqrt{6}$ см. Найдем диагональ квадрата по формуле $d = a\sqrt{2}$:
$AC = 9\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 9\sqrt{12} = 9\sqrt{4 \cdot 3} = 9 \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем длину отрезка $OA$:
$OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAO$. Мы знаем длины двух катетов:
- $MO = 9$ см (противолежащий катет для угла $\angle MAO$)
- $OA = 9\sqrt{3}$ см (прилежащий катет для угла $\angle MAO$)

Найдем тангенс угла $\angle MAO$:
$\tan(\angle MAO) = \frac{MO}{OA} = \frac{9}{9\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$.
Следовательно, $\angle MAO = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

13.19. Дана точка D такая, что прямые DA, DB и DC образуют с плоскостью правильного треугольника ABC углы по $45^\circ$. Найдите расстояние от точки D до вершин и до прямых, содержащих стороны треугольника ABC, если его сторона равна 6 см.

Пусть $O$ — проекция точки $D$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ являются проекциями наклонных $DA$, $DB$ и $DC$ на эту плоскость. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. По условию, углы между прямыми $DA$, $DB$, $DC$ и плоскостью $ABC$ равны $45^\circ$. Следовательно, $\angle DAO = \angle DBO = \angle DCO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle DOA$, $\triangle DOB$ и $\triangle DOC$ (они прямоугольные, так как $DO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$). У этих треугольников общий катет $DO$ и равные острые углы ($\angle DAO = \angle DBO = \angle DCO = 45^\circ$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз $DA = DB = DC$ и равенство катетов $OA = OB = OC$. Равенство $OA = OB = OC$ означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Так как $\triangle ABC$ — правильный, точка $O$ также является его центром (центроидом и центром вписанной окружности).

Расстояние от точки $D$ до вершин — это длины отрезков $DA$, $DB$ и $DC$. Как мы установили, они равны. Найдем длину $DA$.

Сначала найдем радиус описанной окружности $R = OA$ для правильного треугольника со стороной $a = 6$ см.$R = OA = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DOA$. Мы знаем катет $OA = 2\sqrt{3}$ см и угол $\angle DAO = 45^\circ$. Можем найти гипотенузу $DA$:$\cos(\angle DAO) = \frac{OA}{DA} \implies DA = \frac{OA}{\cos(45^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$ см.

Так как $DA = DB = DC$, расстояние от точки $D$ до каждой вершины треугольника равно $2\sqrt{6}$ см.

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.

В силу симметрии, расстояния от точки $D$ до прямых $AB$, $BC$ и $CA$ равны. Найдем расстояние от точки $D$ до прямой $AB$.

Пусть $M$ — середина стороны $AB$. В правильном треугольнике $ABC$ медиана $CM$ является также и высотой, поэтому $CM \perp AB$. Отрезок $OM$ является радиусом вписанной окружности $r$.$r = OM = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим отрезок $DM$. Так как $DO \perp$ плоскости $ABC$, то $DO \perp AB$. Отрезок $OM$ — проекция наклонной $DM$ на плоскость $ABC$, и $OM \perp AB$. По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $DM$ также перпендикулярна прямой $AB$ ($DM \perp AB$). Следовательно, длина отрезка $DM$ и есть искомое расстояние от точки $D$ до прямой $AB$.

Найдем длину $DM$ из прямоугольного треугольника $\triangle DOM$. Катет $OM = \sqrt{3}$ см. Найдем катет $DO$. Из $\triangle DOA$:$\tan(\angle DAO) = \frac{DO}{OA} \implies DO = OA \cdot \tan(45^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора для $\triangle DOM$:$DM^2 = DO^2 + OM^2 = (2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 + 3 = 12 + 3 = 15$.$DM = \sqrt{15}$ см.

Таким образом, расстояние от точки $D$ до каждой из прямых, содержащих стороны треугольника, равно $\sqrt{15}$ см.

Ответ: $\sqrt{15}$ см.

13.20. Точка $P$, равноудалённая от прямых, содержащих стороны прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$), находится на расстоянии $4\sqrt{2}$ см от его плоскости. Проекция точки $P$ на плоскость треугольника $ABC$ принадлежит этому треугольнику. Найдите угол между прямой $PC$ и плоскостью $ABC$, если $AC = 12$ см, $BC = 16$ см.

Пусть $O$ - проекция точки $P$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда отрезок $PO$ является перпендикуляром к плоскости $(ABC)$, и его длина равна расстоянию от точки $P$ до этой плоскости. По условию, $PO = 4\sqrt{2}$ см.

Углом между прямой $PC$ и плоскостью $(ABC)$ называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией прямой $PC$ на плоскость $(ABC)$ является прямая $OC$. Следовательно, искомый угол - это $\angle PCO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle POC$. Поскольку $PO \perp (ABC)$, то $PO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $OC$. Значит, $\triangle POC$ - прямоугольный с прямым углом $\angle POC$. В этом треугольнике мы можем найти искомый угол по его тангенсу: $\tan(\angle PCO) = \frac{PO}{OC}$.

Для нахождения длины $OC$ определим положение точки $O$. По условию, точка $P$ равноудалена от прямых, содержащих стороны треугольника $ABC$. Пусть $PK \perp AC$, $PL \perp BC$ и $PM \perp AB$ - перпендикуляры от точки $P$ к прямым, содержащим стороны треугольника. Тогда $PK = PL = PM$.

Отрезки $OK$, $OL$ и $OM$ являются проекциями наклонных $PK$, $PL$ и $PM$ на плоскость $(ABC)$. По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонные перпендикулярны сторонам треугольника, то и их проекции перпендикулярны этим сторонам: $OK \perp AC$, $OL \perp BC$ и $OM \perp AB$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle POK$, $\triangle POL$ и $\triangle POM$. Они имеют общий катет $PO$ и равные гипотенузы ($PK = PL = PM$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство их вторых катетов: $OK = OL = OM$.

Равенство $OK = OL = OM$ означает, что точка $O$ равноудалена от сторон треугольника $ABC$. Так как по условию проекция $O$ лежит внутри треугольника, $O$ является центром вписанной в $\triangle ABC$ окружности. Длина отрезков $OK$, $OL$, $OM$ равна радиусу этой окружности $r$.

Найдем радиус $r$ вписанной окружности. Треугольник $ABC$ - прямоугольный с катетами $AC=12$ см и $BC=16$ см. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ - катеты, $c$ - гипотенуза:

$r = \frac{AC+BC-AB}{2} = \frac{12+16-20}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь найдем расстояние $OC$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$), если поместить вершину $C$ в начало координат, то катеты $AC$ и $BC$ лягут на оси координат. Центр вписанной окружности $O$ будет иметь координаты $(r, r)$, то есть $O(4, 4)$.

Расстояние от точки $C(0,0)$ до точки $O(4,4)$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:

$OC = \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle POC$. Мы знаем длины обоих катетов: $PO = 4\sqrt{2}$ см (по условию) и $OC = 4\sqrt{2}$ см (вычислено). Найдем тангенс угла $\angle PCO$:

$\tan(\angle PCO) = \frac{PO}{OC} = \frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 1$.

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$. Таким образом, $\angle PCO = 45^\circ$.

Ответ: 45°.

13.21. Отрезок $PB$ — перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$.

Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, если $AB = BC$, $\angle ABC = 120^\circ$, $PA = 16$ см, а угол между прямой $PA$ и плоскостью $ABC$ равен $30^\circ$.

Поскольку отрезок $PB$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$, то $PB$ — перпендикуляр к плоскости, а отрезок $AB$ — это проекция наклонной $PA$ на эту плоскость.

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой $PA$ и плоскостью $ABC$ — это угол $PAB$. По условию, $\angle PAB = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $PAB$, в котором $\angle PBA = 90^\circ$ (так как $PB$ перпендикулярен плоскости $ABC$ и, следовательно, любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B$). Зная гипотенузу $PA = 16$ см и угол $\angle PAB = 30^\circ$, найдем длины катетов $PB$ и $AB$:
$PB = PA \cdot \sin(\angle PAB) = 16 \cdot \sin(30^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.
$AB = PA \cdot \cos(\angle PAB) = 16 \cdot \cos(30^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию он равнобедренный, $AB = BC$, значит, $BC = 8\sqrt{3}$ см. Углы при основании $AC$ равны:
$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Чтобы найти расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, нужно найти длину перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на прямую $AC$. Проведем в плоскости треугольника $ABC$ высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. Таким образом, $BH \perp AC$.
Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($BH$) на плоскость перпендикулярна некоторой прямой ($AC$) в этой плоскости, то и сама наклонная ($PH$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $PH \perp AC$, и длина отрезка $PH$ является искомым расстоянием.

Найдем длину высоты $BH$ из прямоугольного треугольника $ABH$ ($\angle BHA = 90^\circ$):
$BH = AB \cdot \sin(\angle BAC) = 8\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $PBH$. Катет $PB$ перпендикулярен плоскости $ABC$, значит, $PB \perp BH$ и $\angle PBH = 90^\circ$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $PH$:
$PH^2 = PB^2 + BH^2$
$PH^2 = 8^2 + (4\sqrt{3})^2 = 64 + 16 \cdot 3 = 64 + 48 = 112$
$PH = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$ см.

Ответ: $4\sqrt{7}$ см.