Номер 13.12, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.12. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ провели перпендикуляр $AH$ и наклонные $AB$ и $AC$, образующие с плоскостью соответственно углы $45^{\circ}$ и $60^{\circ}$. Найдите отрезок $AB$, если $AC = 4\sqrt{3}$ см.

По условию задачи, из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $AH$ и наклонные $AB$ и $AC$. Это означает, что отрезок $AH$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $H$. Следовательно, треугольники $AHC$ и $AHB$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $H$ ($\angle AHC = \angle AHB = 90^\circ$).

Угол между наклонной и плоскостью определяется как угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекцией наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $HC$. Таким образом, угол между наклонной $AC$ и плоскостью $\alpha$ равен $\angle ACH = 60^\circ$. Аналогично, проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $HB$, и угол между наклонной $AB$ и плоскостью $\alpha$ равен $\angle ABH = 45^\circ$.

Для нахождения длины $AB$ необходимо сначала найти длину общего катета $AH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Мы знаем гипотенузу $AC = 4\sqrt{3}$ см и противолежащий катету $AH$ угол $\angle ACH = 60^\circ$. Используя определение синуса в прямоугольном треугольнике, получаем:
$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$
Выразим отсюда $AH$:
$AH = AC \cdot \sin(\angle ACH) = 4\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ)$
Поскольку $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:
$AH = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ см.

Теперь, зная длину катета $AH = 6$ см, рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$. В этом треугольнике нам известен катет $AH$ и противолежащий ему угол $\angle ABH = 45^\circ$. Нам нужно найти гипотенузу $AB$. Снова воспользуемся определением синуса:
$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$
Выразим отсюда $AB$:
$AB = \frac{AH}{\sin(\angle ABH)} = \frac{6}{\sin(45^\circ)}$
Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$AB = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$AB = \frac{12 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.