gdz.top
Номер 13.15, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 13. Угол между прямой и плоскостью - номер 13.15, страница 150.
№13.14
№13.15 (с. 150)
Условие. №13.15 (с. 150)
13.15. Точка $A$ находится на расстоянии $3\sqrt{3}$ см от плоскости $\alpha$. Наклонные $AB$ и $AC$ образуют с плоскостью углы $60^\circ$ и $45^\circ$ соответственно, а угол между наклонными равен $90^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных.
Решение. №13.15 (с. 150)
Решение 2. №13.15 (с. 150)
Пусть $H$ — это проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда длина перпендикуляра $AH$ равна расстоянию от точки $A$ до плоскости $\alpha$, то есть $AH = 3\sqrt{3}$ см.
Наклонные $AB$ и $AC$ образуют с их проекциями $HB$ и $HC$ прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ соответственно (с прямым углом при вершине $H$).
Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость.
Для наклонной $AB$ этот угол составляет $60^\circ$, то есть $\angle ABH = 60^\circ$. Из прямоугольного треугольника $\triangle AHB$ найдем длину наклонной $AB$:
$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$
$AB = \frac{AH}{\sin(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 6$ см.
Для наклонной $AC$ этот угол составляет $45^\circ$, то есть $\angle ACH = 45^\circ$. Из прямоугольного треугольника $\triangle AHC$ найдем длину наклонной $AC$:
$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$
$AC = \frac{AH}{\sin(45^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{6}$ см.
По условию задачи, угол между наклонными $AB$ и $AC$ равен $90^\circ$, следовательно, треугольник $\triangle BAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Расстояние между основаниями наклонных — это длина отрезка $BC$, который является гипотенузой в $\triangle BAC$. Найдем $BC$ по теореме Пифагора:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$BC^2 = 6^2 + (3\sqrt{6})^2 = 36 + 9 \cdot 6 = 36 + 54 = 90$
$BC = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$ см.
Ответ: $3\sqrt{10}$ см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 13.15 расположенного на странице 150 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №13.15 (с. 150), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.