Номер 13.10, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.10. Докажите, что если углы, образованные с плоскостью наклонными, проведёнными к ней из одной точки, равны, то и сами наклонные равны.

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не принадлежащая этой плоскости. Проведём из точки $A$ две различные наклонные $AB$ и $AC$ к плоскости $\alpha$ (точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$).

Из точки $A$ опустим перпендикуляр $AH$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $HB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$, а отрезок $HC$ — проекцией наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. По условию, углы, образованные наклонными с плоскостью, равны. Обозначим величину этих углов через $\beta$. Таким образом, $\angle ABH = \angle ACH = \beta$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Поскольку $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через его основание $H$. Следовательно, $AH \perp HB$ и $AH \perp HC$. Это означает, что треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $H$.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Для прямоугольного треугольника $\triangle AHB$ имеем:$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$

Отсюда можем выразить длину наклонной $AB$:$AB = \frac{AH}{\sin(\angle ABH)} = \frac{AH}{\sin\beta}$

Аналогично, для прямоугольного треугольника $\triangle AHC$ имеем:$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$

Выразим длину наклонной $AC$:$AC = \frac{AH}{\sin(\angle ACH)} = \frac{AH}{\sin\beta}$

Сравнивая полученные выражения для длин наклонных $AB$ и $AC$, мы видим, что их правые части равны, так как $AH$ — общая высота, а углы $\beta$ равны по условию. Следовательно, равны и их левые части:

$AB = AC$.

Таким образом, доказано, что если углы, образованные с плоскостью наклонными, проведёнными к ней из одной точки, равны, то и сами наклонные равны.

Ответ: Утверждение доказано, наклонные равны.