Номер 13.5, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.5. Сколько наклонных, образующих с плоскостью $\alpha$ угол $40^\circ$, можно провести из точки $A$, не принадлежащей этой плоскости?

Пусть $\alpha$ — данная плоскость, а $A$ — точка, не принадлежащая этой плоскости. Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AO$ на плоскость $\alpha$. Точка $O$ является основанием перпендикуляра.

Любая наклонная, проведённая из точки $A$ к плоскости $\alpha$, будет отрезком $AB$, где точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$. Отрезок $OB$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.

Угол между наклонной и плоскостью по определению — это угол между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. В нашем случае это угол $\angle ABO$. По условию задачи, этот угол должен быть равен $40^\circ$, то есть $\angle ABO = 40^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Так как $AO$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. Следовательно, $AO \perp OB$, и треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AOB = 90^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике мы можем найти соотношение между катетами $AO$ (расстояние от точки до плоскости) и $OB$ (длина проекции наклонной):$tg(\angle ABO) = \frac{AO}{OB}$

Отсюда можно выразить длину проекции $OB$:$OB = \frac{AO}{tg(40^\circ)}$

Поскольку точка $A$ и плоскость $\alpha$ заданы, то расстояние от точки до плоскости $AO$ является постоянной величиной. Значение $tg(40^\circ)$ также является константой. Это означает, что длина проекции $OB$ для всех наклонных, образующих с плоскостью угол $40^\circ$, будет одной и той же.

Таким образом, все точки $B$ (основания наклонных) в плоскости $\alpha$ равноудалены от точки $O$ на расстояние $r = OB = \frac{AO}{tg(40^\circ)}$. Геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, есть окружность. Значит, все точки $B$ лежат на окружности с центром в точке $O$ и радиусом $r$.

Так как окружность состоит из бесконечного множества точек, то существует бесконечно много положений для точки $B$. Каждая такая точка $B$ определяет единственную наклонную $AB$, удовлетворяющую условию. Следовательно, из точки $A$ можно провести бесконечно много таких наклонных.

Совокупность всех этих наклонных образует боковую поверхность конуса с вершиной в точке $A$, осью $AO$ и основанием в виде окружности в плоскости $\alpha$.

Ответ: можно провести бесконечно много таких наклонных.