Номер 13.11, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.11. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ провели перпендикуляр $MB$ и наклонные $MA$ и $MC$. Найдите угол между прямой $MC$ и плоскостью $\alpha$, если $MA = 5\sqrt{2}$ см, $MC = 10$ см, а угол между прямой $MA$ и плоскостью $\alpha$ равен $45^\circ$.

По условию задачи, из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведен перпендикуляр $MB$ и наклонные $MA$ и $MC$. Это означает, что $B$ — основание перпендикуляра, а $A$ и $C$ — основания наклонных.

Отрезок $BA$ является проекцией наклонной $MA$ на плоскость $\alpha$, а отрезок $BC$ — проекцией наклонной $MC$ на эту же плоскость.

Углом между прямой (наклонной) и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Таким образом, угол между прямой $MA$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle MAB$, а искомый угол между прямой $MC$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle MCB$.

Поскольку $MB$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $MB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Следовательно, $\triangle MBA$ и $\triangle MBC$ — прямоугольные треугольники с прямыми углами при вершине $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBA$. Нам известны гипотенуза $MA = 5\sqrt{2}$ см и угол $\angle MAB = 45^\circ$. Найдем длину катета $MB$, который является перпендикуляром к плоскости $\alpha$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle MAB) = \frac{MB}{MA}$

Отсюда находим $MB$:

$MB = MA \cdot \sin(\angle MAB) = 5\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MBC$. Нам известны длина гипотенузы $MC = 10$ см и длина катета $MB = 5$ см. Нам нужно найти угол $\angle MCB$.

Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle MCB) = \frac{MB}{MC}$

Подставим известные значения:

$\sin(\angle MCB) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Угол в прямоугольном треугольнике, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$.

Следовательно, угол между прямой $MC$ и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.