gdz.top
Номер 13.16, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 13. Угол между прямой и плоскостью - номер 13.16, страница 150.
№13.15
№13.16 (с. 150)
Условие. №13.16 (с. 150)
13.16. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MA$ и $MB$. Наклонная $MA$ образует с плоскостью $\alpha$ угол $45^\circ$, а наклонная $MB$ — угол $30^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если $MA = 6$ см, а угол между наклонными равен $45^\circ$.
Решение. №13.16 (с. 150)
Решение 2. №13.16 (с. 150)
Пусть $M$ — данная точка, не лежащая в плоскости $\alpha$. $MA$ и $MB$ — наклонные к этой плоскости. $A$ и $B$ — основания наклонных. Опустим перпендикуляр $MH$ из точки $M$ на плоскость $\alpha$. Тогда $H$ — основание перпендикуляра, $HA$ — проекция наклонной $MA$ на плоскость $\alpha$, а $HB$ — проекция наклонной $MB$ на плоскость $\alpha$.
Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Следовательно, $\angle MAH = 45^\circ$ и $\angle MBH = 30^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHA$ (прямой угол $\angle MHA = 90^\circ$):
Длина перпендикуляра $MH$ равна:$MH = MA \cdot \sin(\angle MAH) = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHB$ (прямой угол $\angle MHB = 90^\circ$):
Зная $MH$ и угол $\angle MBH$, найдем длину наклонной $MB$:$MB = \frac{MH}{\sin(\angle MBH)} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(30^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{1/2} = 6\sqrt{2}$ см.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. В нем известны две стороны $MA = 6$ см, $MB = 6\sqrt{2}$ см и угол между ними $\angle AMB = 45^\circ$. Мы можем найти третью сторону $AB$ (расстояние между основаниями наклонных) по теореме косинусов:
$AB^2 = MA^2 + MB^2 - 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos(\angle AMB)$
Подставим известные значения:
$AB^2 = 6^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$
$AB^2 = 36 + (36 \cdot 2) - 72\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$AB^2 = 36 + 72 - \frac{72 \cdot 2}{2}$
$AB^2 = 108 - 72$
$AB^2 = 36$
$AB = \sqrt{36} = 6$ см.
Ответ: 6 см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 13.16 расположенного на странице 150 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №13.16 (с. 150), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.