Номер 13.22, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.22. Дан треугольник ABC такой, что $AC = BC$, $\angle ACB = 90^\circ$, $AB = 10$ см. Отрезок MC — перпендикуляр к плоскости ABC. Расстояние от точки M до прямой AB равно $5\sqrt{3}$ см. Найдите угол между прямой AM и плоскостью ABC.

1. Анализ геометрии в плоскости ABC.
Треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AC = BC$) и прямоугольным ($\angle ACB = 90^\circ$). Гипотенуза $AB = 10$ см. Найдем длину катетов $AC$ и $BC$ по теореме Пифагора:
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
Так как $AC = BC$, то $2 \cdot AC^2 = 10^2 = 100$.
$AC^2 = 50$, откуда $AC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.

2. Нахождение высоты MC.
Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $M$ на $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $H$. Таким образом, $MH \perp AB$ и $MH = 5\sqrt{3}$ см.
По условию, отрезок $MC$ перпендикулярен плоскости $ABC$. Прямая $MH$ является наклонной к плоскости $ABC$, а $CH$ — ее проекцией на эту плоскость.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($MH$) перпендикулярна прямой в плоскости ($AB$), то и ее проекция ($CH$) перпендикулярна этой же прямой. Следовательно, $CH \perp AB$.
Это означает, что $CH$ — высота треугольника $ABC$, проведенная к гипотенузе $AB$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, также является медианой и равна половине гипотенузы:
$CH = \frac{1}{2}AB = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $MCH$. Поскольку $MC \perp (ABC)$, то $MC$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через $C$, включая $CH$. Значит, $\triangle MCH$ — прямоугольный с $\angle MCH = 90^\circ$. По теореме Пифагора:
$MC^2 + CH^2 = MH^2$
$MC^2 + 5^2 = (5\sqrt{3})^2$
$MC^2 + 25 = 25 \cdot 3 = 75$
$MC^2 = 75 - 25 = 50$
$MC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.

3. Нахождение угла между прямой AM и плоскостью ABC.
Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Так как $MC$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, то $AC$ является проекцией наклонной $AM$ на эту плоскость. Следовательно, искомый угол — это $\angle MAC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $MAC$ (угол $\angle MCA = 90^\circ$, так как $MC \perp AC$). Мы нашли длины его катетов:
$AC = 5\sqrt{2}$ см
$MC = 5\sqrt{2}$ см
Найдем тангенс угла $\angle MAC$:
$\text{tg}(\angle MAC) = \frac{MC}{AC} = \frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 1$.
Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.