Номер 13.26, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.26. Из точки $B$ к плоскости $\beta$ проведены две равные наклонные, угол между которыми прямой. Угол между проекциями данных наклонных на плоскость $\beta$ равен $120^\circ$. Найдите косинус угла между данными наклонными и плоскостью $\beta$.

Пусть из точки $B$ к плоскости $\beta$ проведены две равные наклонные $BA$ и $BC$. Обозначим длину этих наклонных как $l$, то есть $BA = BC = l$.

Пусть точка $O$ — проекция точки $B$ на плоскость $\beta$. Тогда $BO$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, а отрезки $OA$ и $OC$ — проекции наклонных $BA$ и $BC$ на эту плоскость. Поскольку наклонные равны, то равны и их проекции: $OA = OC$. Обозначим длину проекций как $p$.

По условию, угол между наклонными прямой, значит $\angle ABC = 90^{\circ}$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Он является равнобедренным и прямоугольным. По теореме Пифагора найдём квадрат длины стороны $AC$:

$AC^2 = BA^2 + BC^2 = l^2 + l^2 = 2l^2$

По условию, угол между проекциями данных наклонных равен $120^{\circ}$, то есть $\angle AOC = 120^{\circ}$. Рассмотрим треугольник $\triangle AOC$, который лежит в плоскости $\beta$. Он является равнобедренным, так как $OA = OC = p$. Применим к нему теорему косинусов для нахождения квадрата длины стороны $AC$:

$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos(\angle AOC)$

$AC^2 = p^2 + p^2 - 2 \cdot p \cdot p \cdot \cos(120^{\circ})$

Так как $\cos(120^{\circ}) = -1/2$, получаем:

$AC^2 = 2p^2 - 2p^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2p^2 + p^2 = 3p^2$

Теперь мы имеем два выражения для $AC^2$. Приравняем их:

$2l^2 = 3p^2$

Отсюда найдём отношение квадратов длин проекции и наклонной:

$\frac{p^2}{l^2} = \frac{2}{3}$

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Обозначим этот угол как $\alpha$. В нашем случае это угол $\angle BAO$ (или $\angle BCO$). Из прямоугольного треугольника $\triangle BOA$ (где $\angle BOA = 90^{\circ}$) косинус этого угла равен отношению прилежащего катета $OA$ к гипотенузе $BA$:

$\cos(\alpha) = \frac{OA}{BA} = \frac{p}{l}$

Из соотношения $2l^2 = 3p^2$ мы можем найти это отношение:

$\frac{p}{l} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Следовательно, косинус угла между данными наклонными и плоскостью $\beta$ равен $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$.