Номер 13.25, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.25. Из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены две равные наклонные, угол между которыми равен $60^\circ$. Угол между проекциями данных наклонных на плоскость $\alpha$ равен $90^\circ$. Найдите угол между данными наклонными и плоскостью $\alpha$.

Пусть из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены две равные наклонные $AB$ и $AC$. Пусть их длина равна $L$, то есть $AB = AC = L$. Угол между этими наклонными по условию равен $60^\circ$, то есть $\angle BAC = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как две его стороны равны ($AB = AC$), он является равнобедренным. Поскольку угол между этими равными сторонами равен $60^\circ$, то $\triangle ABC$ является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны $L$, в частности, $BC = L$.

Пусть $AO$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда точка $O$ является проекцией точки $A$ на эту плоскость. Отрезки $OB$ и $OC$ являются проекциями наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ соответственно.

По условию, угол между проекциями равен $90^\circ$, то есть $\angle BOC = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle AOC$ (углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$ прямые, так как $AO \perp \alpha$). У этих треугольников:
1. Гипотенузы равны: $AB = AC = L$ (по условию).
2. Катет $AO$ — общий.
Следовательно, $\triangle AOB = \triangle AOC$ по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $OB = OC$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OBC$, лежащий в плоскости $\alpha$. Он является прямоугольным ($\angle BOC = 90^\circ$) и равнобедренным ($OB = OC$). По теореме Пифагора для $\triangle OBC$:
$BC^2 = OB^2 + OC^2$
Так как $OB = OC$ и $BC = L$, получаем:
$L^2 = OB^2 + OB^2 = 2 \cdot OB^2$
Отсюда находим квадрат длины проекции:
$OB^2 = \frac{L^2}{2}$
И саму длину проекции:
$OB = \sqrt{\frac{L^2}{2}} = \frac{L}{\sqrt{2}}$

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Нам нужно найти угол $\angle ABO$. Обозначим его как $\phi$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$ косинус угла $\phi$ равен отношению прилежащего катета $OB$ к гипотенузе $AB$:
$\cos(\phi) = \frac{OB}{AB}$
Подставляем найденные значения:
$\cos(\phi) = \frac{L/\sqrt{2}}{L} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.