Номер 13.21, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

Параграф 13. Угол между прямой и плоскостью. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 13.21, страница 150.

Условие.

13.21. Отрезок $PB$ — перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$.

Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, если $AB = BC$, $\angle ABC = 120^\circ$, $PA = 16$ см, а угол между прямой $PA$ и плоскостью $ABC$ равен $30^\circ$.

Решение.

Решение 2.

Поскольку отрезок $PB$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$, то $PB$ — перпендикуляр к плоскости, а отрезок $AB$ — это проекция наклонной $PA$ на эту плоскость.

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой $PA$ и плоскостью $ABC$ — это угол $PAB$. По условию, $\angle PAB = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $PAB$, в котором $\angle PBA = 90^\circ$ (так как $PB$ перпендикулярен плоскости $ABC$ и, следовательно, любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B$). Зная гипотенузу $PA = 16$ см и угол $\angle PAB = 30^\circ$, найдем длины катетов $PB$ и $AB$:
$PB = PA \cdot \sin(\angle PAB) = 16 \cdot \sin(30^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.
$AB = PA \cdot \cos(\angle PAB) = 16 \cdot \cos(30^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию он равнобедренный, $AB = BC$, значит, $BC = 8\sqrt{3}$ см. Углы при основании $AC$ равны:
$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Чтобы найти расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, нужно найти длину перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на прямую $AC$. Проведем в плоскости треугольника $ABC$ высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. Таким образом, $BH \perp AC$.
Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($BH$) на плоскость перпендикулярна некоторой прямой ($AC$) в этой плоскости, то и сама наклонная ($PH$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $PH \perp AC$, и длина отрезка $PH$ является искомым расстоянием.

Найдем длину высоты $BH$ из прямоугольного треугольника $ABH$ ($\angle BHA = 90^\circ$):
$BH = AB \cdot \sin(\angle BAC) = 8\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $PBH$. Катет $PB$ перпендикулярен плоскости $ABC$, значит, $PB \perp BH$ и $\angle PBH = 90^\circ$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $PH$:
$PH^2 = PB^2 + BH^2$
$PH^2 = 8^2 + (4\sqrt{3})^2 = 64 + 16 \cdot 3 = 64 + 48 = 112$
$PH = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$ см.

Ответ: $4\sqrt{7}$ см.