Номер 13.23, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.23. Отрезок $DA$ — перпендикуляр к плоскости правильного треугольника $ABC$, $AD = AB$, точка $E$ — середина стороны $BC$. Найдите угол между:

1) прямой $AB$ и плоскостью $ADE$;

2) прямой $AC$ и плоскостью $ABD$.

Пусть сторона правильного треугольника $ABC$ равна $a$. Тогда $AB = BC = AC = a$. По условию $AD = AB$, следовательно, $AD = a$.

1) прямой AB и плоскостью ADE;

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Найдём проекцию прямой $AB$ на плоскость $ADE$.

Точка $A$ принадлежит плоскости $ADE$, поэтому её проекция на эту плоскость совпадает с самой точкой $A$.

Чтобы найти проекцию точки $B$ на плоскость $ADE$, необходимо опустить перпендикуляр из точки $B$ на эту плоскость.

Так как треугольник $ABC$ правильный, то его медиана $AE$ (поскольку $E$ — середина $BC$) является также и высотой. Следовательно, $AE \perp BC$.

По условию, отрезок $DA$ перпендикулярен плоскости $ABC$. Это означает, что $DA$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $DA \perp BC$.

Мы имеем, что прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AE$ и $DA$, которые лежат в плоскости $ADE$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ADE$.

Поскольку прямая $BC$ проходит через точку $B$ и перпендикулярна плоскости $ADE$ в точке $E$ (так как $E$ - точка пересечения $BC$ и плоскости $ADE$), то точка $E$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на плоскость $ADE$. Таким образом, $E$ — проекция точки $B$ на плоскость $ADE$.

Следовательно, прямая $AE$ является проекцией прямой $AB$ на плоскость $ADE$.

Искомый угол — это угол между прямой $AB$ и её проекцией $AE$, то есть угол $\angle BAE$.

В правильном треугольнике $ABC$ медиана $AE$ также является биссектрисой угла $\angle BAC$. Угол правильного треугольника $\angle BAC = 60^\circ$.

Поэтому, $\angle BAE = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

2) прямой AC и плоскостью ABD.

Аналогично первому пункту, найдём угол между прямой $AC$ и её проекцией на плоскость $ABD$.

Точка $A$ принадлежит плоскости $ABD$, поэтому её проекция на эту плоскость — это сама точка $A$.

Найдём проекцию точки $C$ на плоскость $ABD$, опустив из неё перпендикуляр на эту плоскость.

По условию $DA \perp (ABC)$. Плоскость $ABD$ содержит прямую $DA$. По признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Следовательно, плоскость $(ABD) \perp (ABC)$.

Линией пересечения этих перпендикулярных плоскостей является прямая $AB$.

Перпендикуляр из точки $C$, лежащей в плоскости $ABC$, на плоскость $ABD$ будет лежать в плоскости $ABC$ и будет перпендикулярен линии пересечения $AB$.

Проведём в плоскости $ABC$ высоту $CK$ к стороне $AB$. Таким образом, $CK \perp AB$. Так как $CK$ лежит в плоскости $ABC$ и перпендикулярна линии пересечения $AB$ плоскостей $ABC$ и $ABD$, то $CK$ перпендикулярна всей плоскости $ABD$.

Следовательно, точка $K$ является проекцией точки $C$ на плоскость $ABD$.

Тогда прямая $AK$ является проекцией прямой $AC$ на плоскость $ABD$.

Искомый угол — это угол между прямой $AC$ и её проекцией $AK$, то есть угол $\angle CAK$.

Точка $K$ лежит на отрезке $AB$, поэтому угол $\angle CAK$ совпадает с углом $\angle CAB$.

Так как треугольник $ABC$ правильный, то $\angle CAB = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.