Номер 13.29, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.29. Через вершину прямого угла проведена прямая, образующая с каждой из его сторон угол $60^\circ$. Найдите угол, который образует эта прямая с плоскостью прямого угла.

Для решения задачи введем трехмерную декартову систему координат. Пусть вершина прямого угла совпадает с началом координат $O(0, 0, 0)$, а его стороны лежат на положительных полуосях $Ox$ и $Oy$. В этом случае плоскость, в которой находится прямой угол, будет плоскостью $Oxy$.

Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — единичные векторы, сонаправленные со сторонами прямого угла. Тогда $\vec{a} = (1, 0, 0)$ и $\vec{b} = (0, 1, 0)$.

Пусть $\vec{v} = (x, y, z)$ — это единичный направляющий вектор прямой, которая проходит через начало координат и образует заданные углы. Условие единичности вектора означает, что его длина равна 1: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1$.

По условию, прямая образует со сторонами угла углы в $60^\circ$. Угол между векторами находится с помощью скалярного произведения.

Угол между вектором $\vec{v}$ и вектором $\vec{a}$ (ось $Ox$):

$\cos 60^\circ = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}| |\vec{a}|}$

$\frac{1}{2} = \frac{x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0}{1 \cdot 1}$

Отсюда получаем $x = \frac{1}{2}$.

Угол между вектором $\vec{v}$ и вектором $\vec{b}$ (ось $Oy$):

$\cos 60^\circ = \frac{\vec{v} \cdot \vec{b}}{|\vec{v}| |\vec{b}|}$

$\frac{1}{2} = \frac{x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 0}{1 \cdot 1}$

Отсюда получаем $y = \frac{1}{2}$.

Теперь, зная $x$ и $y$, мы можем найти $z$ из условия, что вектор $\vec{v}$ является единичным:

$x^2 + y^2 + z^2 = 1$

$(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + z^2 = 1$

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + z^2 = 1$

$\frac{1}{2} + z^2 = 1$

$z^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$z = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Направляющий вектор прямой может быть, например, $\vec{v} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$. Знак компоненты $z$ не влияет на угол с плоскостью $Oxy$.

Теперь найдем угол $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec{v}$ и плоскостью $Oxy$. Вектор нормали (перпендикуляра) к плоскости $Oxy$ — это вектор $\vec{n} = (0, 0, 1)$.

Синус угла между прямой и плоскостью вычисляется по формуле:

$\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$

Подставляем наши значения:

$\sin \alpha = \frac{|(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (0, 0, 1)|}{1 \cdot 1} = |\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1| = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь находим сам угол $\alpha$:

$\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.