Номер 13.36, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.36. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $B_1D = 2AD_1 = 4AA_1$. Найдите косинус угла между прямыми $AD_1$ и $B_1D$.

Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми $AD_1$ и $B_1D$ воспользуемся координатно-векторным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны: $AB = a$, $AD = b$, $AA_1 = c$.

Выразим длины отрезков $AD_1$, $AA_1$ и $B_1D$ через $a, b, c$.Длина ребра $AA_1$ равна $c$.$AD_1$ — диагональ грани $ADD_1A_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ADD_1$: $AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = b^2 + c^2$. Следовательно, $AD_1 = \sqrt{b^2 + c^2}$.$B_1D$ — пространственная диагональ параллелепипеда. Квадрат её длины равен сумме квадратов трёх измерений: $B_1D^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Следовательно, $B_1D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Согласно условию задачи, $B_1D = 2AD_1 = 4AA_1$.Пусть $AA_1 = c = x$. Тогда $AD_1 = 2x$ и $B_1D = 4x$.Подставим эти значения в полученные ранее формулы:

1. Из $AD_1 = 2x$ получаем: $\sqrt{b^2 + c^2} = 2x$. Возведя в квадрат обе части и подставив $c=x$, имеем: $b^2 + x^2 = (2x)^2 = 4x^2$. Отсюда $b^2 = 3x^2$, и так как $b > 0$, то $b = x\sqrt{3}$.

2. Из $B_1D = 4x$ получаем: $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 4x$. Возведя в квадрат обе части, имеем: $a^2 + b^2 + c^2 = (4x)^2 = 16x^2$. Подставим найденные значения для $b^2$ и $c^2$: $a^2 + 3x^2 + x^2 = 16x^2$. Отсюда $a^2 + 4x^2 = 16x^2$, что дает $a^2 = 12x^2$. Так как $a > 0$, то $a = \sqrt{12x^2} = 2x\sqrt{3}$.

Таким образом, мы нашли соотношения между измерениями параллелепипеда: $a = 2x\sqrt{3}$, $b = x\sqrt{3}$, $c = x$. Для удобства вычислений положим $x=1$. Тогда $a = 2\sqrt{3}$, $b = \sqrt{3}$, $c = 1$.

Теперь найдем координаты векторов, соответствующих прямым $AD_1$ и $B_1D$.Координаты точек:$A(0, 0, 0)$$D_1(0, b, c) = (0, \sqrt{3}, 1)$$B_1(a, 0, c) = (2\sqrt{3}, 0, 1)$$D(0, b, 0) = (0, \sqrt{3}, 0)$

Направляющий вектор для прямой $AD_1$:$\vec{u} = \vec{AD_1} = (0-0, \sqrt{3}-0, 1-0) = (0, \sqrt{3}, 1)$.

Направляющий вектор для прямой $B_1D$:$\vec{v} = \vec{B_1D} = (0-2\sqrt{3}, \sqrt{3}-0, 0-1) = (-2\sqrt{3}, \sqrt{3}, -1)$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми (или векторами) вычисляется по формуле:$\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:$\vec{u} \cdot \vec{v} = (0) \cdot (-2\sqrt{3}) + (\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{3}) + (1) \cdot (-1) = 0 + 3 - 1 = 2$.

Найдем длины (модули) векторов:$|\vec{u}| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.$|\vec{v}| = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{12 + 3 + 1} = \sqrt{16} = 4$.

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:$\cos \alpha = \frac{|2|}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$