Номер 13.41, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.41. Ребро $DC$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Известно, что $\angle ADB = 90^\circ$, $AC = CD = 1$ см, $BC = \sqrt{3}$ см. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $ADB$.

Для решения задачи воспользуемся методом объемов. Объем тетраэдра $DABC$ можно вычислить двумя способами:

1. Приняв за основание треугольник $ABC$, а за высоту — ребро $DC$.
$V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot DC$

2. Приняв за основание треугольник $ADB$, а за высоту — искомое расстояние $h$ от точки $C$ до плоскости $ADB$.
$V = \frac{1}{3} S_{ADB} \cdot h$

Приравняв эти два выражения, получим: $S_{ABC} \cdot DC = S_{ADB} \cdot h$.
Отсюда искомое расстояние $h = \frac{S_{ABC} \cdot DC}{S_{ADB}}$.

Найдем все необходимые величины.

1. Найдем длины ребер тетраэдра.

По условию, ребро $DC$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Это означает, что $DC$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в частности $DC \perp AC$ и $DC \perp BC$. Следовательно, треугольники $\triangle DCA$ и $\triangle DCB$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $C$.

Из прямоугольного $\triangle DCA$ по теореме Пифагора:
$AD^2 = AC^2 + CD^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \implies AD = \sqrt{2}$ см.

Из прямоугольного $\triangle DCB$ по теореме Пифагора:
$DB^2 = BC^2 + CD^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 \implies DB = 2$ см.

По условию $\angle ADB = 90^{\circ}$, значит $\triangle ADB$ — прямоугольный. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:
$AB^2 = AD^2 + DB^2 = (\sqrt{2})^2 + 2^2 = 2 + 4 = 6 \implies AB = \sqrt{6}$ см.

2. Найдем площадь основания $S_{ADB}$.

Поскольку $\triangle ADB$ — прямоугольный с катетами $AD = \sqrt{2}$ и $DB = 2$, его площадь равна:
$S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DB = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 = \sqrt{2}$ см$^2$.

3. Найдем площадь основания $S_{ABC}$.

Мы знаем все стороны треугольника $ABC$: $AC=1$, $BC=\sqrt{3}$, $AB=\sqrt{6}$. Для нахождения площади воспользуемся теоремой косинусов, чтобы найти угол $\angle ACB$.
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$
$(\sqrt{6})^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACB)$
$6 = 1 + 3 - 2\sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACB)$
$6 = 4 - 2\sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACB)$
$2 = -2\sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACB)$
$\cos(\angle ACB) = -\frac{2}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Поскольку $\angle ACB$ — угол треугольника, его синус положителен.
$\sin(\angle ACB) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle ACB)} = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Площадь треугольника $ABC$ равна:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см$^2$.

4. Найдем искомое расстояние $h$.

Подставим найденные значения в формулу $h = \frac{S_{ABC} \cdot DC}{S_{ADB}}$.
$h = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ см.

Ответ: $0,5$ см.