Номер 13.43, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.43. Через точку $A$ проведены прямые, касающиеся окружности радиусом 4 см в точках $B$ и $C$. Угол $BAC$ равен 60°. Найдите площадь треугольника $ABC$.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков этих касательных от точки до точек касания равны. Следовательно, $AB = AC$.

Поскольку $AB = AC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным. По условию, угол при вершине $\angle BAC = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому углы при основании $BC$ равны:

$\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Так как все три угла треугольника $ABC$ равны $60^\circ$, этот треугольник является равносторонним. Значит, $AB = AC = BC$.

Для того чтобы найти площадь треугольника $ABC$, нам нужно найти длину его стороны. Пусть $O$ — центр окружности. Проведем радиус $OB$ в точку касания $B$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $\angle OBA = 90^\circ$. Треугольник $ABO$ является прямоугольным.

Отрезок $AO$, соединяющий точку $A$ с центром окружности $O$, является биссектрисой угла $\angle BAC$. Следовательно:

$\angle OAB = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ABO$ мы знаем катет $OB$ (радиус окружности $r=4$ см) и угол $\angle OAB = 30^\circ$. Мы можем найти длину другого катета $AB$ с помощью тангенса:

$\tan(\angle OAB) = \frac{OB}{AB}$

Выразим отсюда $AB$:

$AB = \frac{OB}{\tan(30^\circ)} = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная сторону равностороннего треугольника $ABC$, мы можем вычислить его площадь ($S$) по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, где $a$ - длина стороны.

$S_{ABC} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(16 \cdot 3) \sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см$^2$.