Номер 13.40, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.40. Перпендикулярные прямые $a$ и $b$ принадлежат плоскости $\pi$. Прямая $m$ образует с плоскостью $\pi$ угол $\gamma$, с прямыми $a$ и $b$ — углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Докажите, что $\cos^2 \gamma = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta$.

Для доказательства воспользуемся методом координат.

Доказательство:

1. Введем систему координат.
Поскольку прямые $a$ и $b$ перпендикулярны и лежат в плоскости $\pi$, мы можем удобно расположить систему координат. Пусть точка пересечения прямых $a$ и $b$ будет началом координат $O(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль прямой $a$, а ось $Oy$ вдоль прямой $b$. Тогда плоскость $\pi$ будет совпадать с координатной плоскостью $Oxy$.

В этой системе координат:

• Направляющий вектор прямой $a$ можно взять как $\vec{e_a} = (1, 0, 0)$.
• Направляющий вектор прямой $b$ можно взять как $\vec{e_b} = (0, 1, 0)$.

2. Зададим направляющий вектор прямой m.
Пусть направляющий вектор прямой $m$ будет $\vec{e_m} = (x, y, z)$. Для упрощения выкладок будем считать его единичным, то есть $|\vec{e_m}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 1$. Это не повлияет на углы, которые зависят только от направления.

3. Выразим косинусы углов через координаты вектора.

• Угол $\alpha$ — это угол между прямыми $m$ и $a$. Косинус угла между векторами $\vec{e_m}$ и $\vec{e_a}$ равен:
  $cos \alpha = \frac{|\vec{e_m} \cdot \vec{e_a}|}{|\vec{e_m}| \cdot |\vec{e_a}|} = \frac{|x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0|}{1 \cdot \sqrt{1^2+0+0}} = |x|$.
  Следовательно, $cos^2 \alpha = x^2$.
• Угол $\beta$ — это угол между прямыми $m$ и $b$. Косинус угла между векторами $\vec{e_m}$ и $\vec{e_b}$ равен:
  $cos \beta = \frac{|\vec{e_m} \cdot \vec{e_b}|}{|\vec{e_m}| \cdot |\vec{e_b}|} = \frac{|x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 0|}{1 \cdot \sqrt{0+1^2+0}} = |y|$.
  Следовательно, $cos^2 \beta = y^2$.
• Угол $\gamma$ — это угол между прямой $m$ и плоскостью $\pi$. Он определяется как угол между прямой $m$ и ее проекцией на плоскость $\pi$. Проекцией вектора $\vec{e_m} = (x, y, z)$ на плоскость $Oxy$ является вектор $\vec{e_{m_{pr}}} = (x, y, 0)$.
  Найдем косинус угла $\gamma$ между векторами $\vec{e_m}$ и $\vec{e_{m_{pr}}}$:
  $cos \gamma = \frac{|\vec{e_m} \cdot \vec{e_{m_{pr}}}|}{|\vec{e_m}| \cdot |\vec{e_{m_{pr}}}|} = \frac{|x \cdot x + y \cdot y + z \cdot 0|}{1 \cdot \sqrt{x^2 + y^2 + 0^2}} = \frac{x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \sqrt{x^2 + y^2}$.
  Следовательно, $cos^2 \gamma = x^2 + y^2$.

4. Завершим доказательство.
Мы получили следующие выражения:

• $cos^2 \alpha = x^2$
• $cos^2 \beta = y^2$
• $cos^2 \gamma = x^2 + y^2$

Подставим выражения для $cos^2 \alpha$ и $cos^2 \beta$ в правую часть доказываемого равенства:
$cos^2 \alpha + cos^2 \beta = x^2 + y^2$.
Сравнивая полученный результат с выражением для левой части, видим, что:
$cos^2 \gamma = cos^2 \alpha + cos^2 \beta$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $cos^2 \gamma = cos^2 \alpha + cos^2 \beta$ доказано.