Номер 13.37, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.37. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB_1 = AD = 2AA_1$. Найдите косинус угла между прямыми $A_1B$ и $C_1A$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ вдоль ребра $AB$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Пусть длина ребра $AA_1$ равна $a$. Тогда, согласно условию задачи, $AB = AD = 2a$.

В этой системе координат найдем координаты вершин, необходимых для определения векторов, задающих прямые $A_1B$ и $C_1A$:

• $A(0; 0; 0)$
• $A_1(0; 0; a)$
• $B(0; 2a; 0)$
• $D(2a; 0; 0)$
• $C_1$ имеет координаты, соответствующие смещению от точки $A$ на $AD$ по оси $Ox$, на $AB$ по оси $Oy$ и на $AA_1$ по оси $Oz$. Таким образом, $C_1(2a; 2a; a)$.

Теперь найдем направляющие векторы для прямых $A_1B$ и $C_1A$.

Для прямой $A_1B$ направляющим вектором будет вектор $\vec{A_1B}$:

$\vec{A_1B} = \{0 - 0; 2a - 0; 0 - a\} = \{0; 2a; -a\}$

Для прямой $C_1A$ направляющим вектором будет вектор $\vec{C_1A}$:

$\vec{C_1A} = \{0 - 2a; 0 - 2a; 0 - a\} = \{-2a; -2a; -a\}$

Косинус угла $\phi$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{A_1B}$ и $\vec{C_1A}$:

$\vec{A_1B} \cdot \vec{C_1A} = (0) \cdot (-2a) + (2a) \cdot (-2a) + (-a) \cdot (-a) = 0 - 4a^2 + a^2 = -3a^2$

Найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{A_1B}| = \sqrt{0^2 + (2a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

$|\vec{C_1A}| = \sqrt{(-2a)^2 + (-2a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2 + a^2} = \sqrt{9a^2} = 3a$

Теперь можем вычислить косинус угла между векторами:

$\cos \alpha = \frac{-3a^2}{a\sqrt{5} \cdot 3a} = \frac{-3a^2}{3a^2\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

Угол между прямыми является острым, поэтому его косинус должен быть неотрицательным. Косинус угла между прямыми $\phi$ равен модулю косинуса угла между направляющими векторами:

$\cos \phi = |\cos \alpha| = |-\frac{1}{\sqrt{5}}| = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$