Номер 13.39, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.39. Ребро $AD$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Отрезки $AM$ и $BK$ — высоты остроугольного треугольника $ABC$. Известно, что $\angle ACB = 45^\circ$, $AD = 4$ см, $AC = 4\sqrt{2}$ см. Найдите угол между прямыми $BK$ и $DM$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BK$ и $DM$ воспользуемся методом проекций.

1. Докажем, что прямая BK перпендикулярна плоскости ADC.

По условию, $BK$ — высота треугольника $ABC$, следовательно, $BK \perp AC$. Также по условию, ребро $AD$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Это означает, что $AD$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $BK$. Таким образом, $AD \perp BK$.

Поскольку прямая $BK$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AD$) в плоскости $ADC$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $BK \perp (ADC)$.

2. Найдем угол между прямой DM и плоскостью ADC.

Угол между прямой и плоскостью, которой эта прямая не перпендикулярна, — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Пусть $P$ — проекция точки $M$ на плоскость $ADC$. Тогда прямая $DP$ является проекцией прямой $DM$ на плоскость $ADC$, а искомый угол — это $\angle MDP$. Обозначим его $\beta$.

Так как прямая $BK$ перпендикулярна плоскости $ADC$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая проекцию $DP$. Угол $\alpha$ между прямой $DM$ и прямой $BK$ будет равен $90^{\circ} - \beta$, то есть $90^{\circ} - \angle MDP$.

3. Найдем необходимые длины для вычисления угла.

Рассмотрим треугольник $ABC$. $AM$ — высота, проведенная к стороне $BC$, значит $\angle AMC = 90^{\circ}$. В треугольнике $AMC$ известен угол $\angle ACM = \angle ACB = 45^{\circ}$. Следовательно, $\triangle AMC$ является прямоугольным и равнобедренным, так как $\angle MAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$.

Из этого следует, что $AM = MC$. По теореме Пифагора для $\triangle AMC$: $AM^2 + MC^2 = AC^2$ $2 \cdot AM^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$ $AM^2 = 16$ $AM = 4$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ADM$. Так как $AD \perp (ABC)$, то $AD \perp AM$. Значит, $\triangle ADM$ — прямоугольный с прямым углом $A$. По теореме Пифагора: $DM^2 = AD^2 + AM^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$ $DM = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Найдем длину отрезка $MP$. $P$ — проекция точки $M$ на плоскость $ADC$. Так как плоскость $ABC$ перпендикулярна плоскости $ADC$ (поскольку $AD \perp (ABC)$), то перпендикуляр из точки $M \in (ABC)$ на плоскость $ADC$ упадет на линию их пересечения, то есть на прямую $AC$. Таким образом, $MP$ — это высота в треугольнике $AMC$, проведенная к гипотенузе $AC$.

Площадь прямоугольного треугольника $AMC$ можно вычислить двумя способами: $S_{AMC} = \frac{1}{2} AM \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ $S_{AMC} = \frac{1}{2} AC \cdot MP = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot MP$

Приравнивая выражения для площади, получаем: $8 = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot MP$ $8 = 2\sqrt{2} \cdot MP$ $MP = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ см.

4. Вычислим искомый угол.

В прямоугольном треугольнике $DPM$ (угол $P$ прямой, так как $MP \perp (ADC)$) мы знаем длину гипотенузы $DM = 4\sqrt{2}$ и катета $MP = 2\sqrt{2}$. Найдем синус угла $\beta = \angle MDP$: $\sin(\beta) = \sin(\angle MDP) = \frac{MP}{DM} = \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

Следовательно, $\beta = 30^{\circ}$.

Угол $\alpha$ между прямыми $BK$ и $DM$ равен: $\alpha = 90^{\circ} - \beta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$.