Номер 13.42, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.42. В тетраэдре $DABC$ известно, что $\angle DAC = 90^\circ$, $\angle DBC = 90^\circ$, $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = \sqrt{2}$ см, $CD = 2$ см, $BC = 1$ см. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$.

Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на эту плоскость. Обозначим этот перпендикуляр $DH$, где $H$ — основание перпендикуляра, точка $H$ лежит в плоскости $ABC$. Таким образом, по определению $DH \perp (ABC)$.

Отрезок $DA$ является наклонной к плоскости $ABC$, а отрезок $HA$ — её проекцией на эту плоскость. По условию, $\angle DAC = 90^\circ$, что означает $DA \perp AC$. Согласно теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости, то и ее проекция перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $HA \perp AC$.

Аналогично, отрезок $DB$ является наклонной к плоскости $ABC$, а отрезок $HB$ — её проекцией. По условию, $\angle DBC = 90^\circ$, что означает $DB \perp BC$. По той же теореме, $HB \perp BC$.

Теперь рассмотрим положение точки $H$ в плоскости $ABC$. В этой плоскости нам известно, что $\angle ACB = 90^\circ$. Также мы установили, что $HA \perp AC$ (то есть $\angle HAC = 90^\circ$) и $HB \perp BC$ (то есть $\angle HBC = 90^\circ$). Четырехугольник $ACBH$ имеет три прямых угла ($\angle C$, $\angle A$ и $\angle B$), следовательно, он является прямоугольником.

В прямоугольнике $ACBH$ диагонали равны, то есть $CH = AB$. Найдем длину гипотенузы $AB$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора, используя данные $AC = \sqrt{2}$ см и $BC = 1$ см:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$
$AB = \sqrt{3}$ см.
Следовательно, $CH = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим треугольник $DHC$. Так как $DH$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, то $DH$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $CH$. Значит, $\angle DHC = 90^\circ$, и треугольник $DHC$ является прямоугольным с гипотенузой $DC$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $DHC$:
$DH^2 + CH^2 = DC^2$
Подставим известные значения $CH = \sqrt{3}$ см и $DC = 2$ см:
$DH^2 + (\sqrt{3})^2 = 2^2$
$DH^2 + 3 = 4$
$DH^2 = 1$
$DH = 1$ см.

Таким образом, искомое расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ равно 1 см.

Ответ: 1 см.