Номер 14.3, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.3. На одной из граней острого двугранного угла отмечена точка, расстояние от которой до другой грани равно $4\sqrt{3}$ см, а до ребра двугранного угла — 8 см. Какова величина данного двугранного угла?

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $a$ (ребро двугранного угла). Пусть точка $A$ лежит в одной из граней, для определенности, в грани $\alpha$.

По условию задачи, расстояние от точки $A$ до другой грани, $\beta$, равно $4\sqrt{3}$ см. Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Проведем перпендикуляр $AB$ из точки $A$ на плоскость $\beta$. Таким образом, длина отрезка $AB$ равна $4\sqrt{3}$ см, и $AB \perp \beta$.

Также по условию, расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла $a$ равно 8 см. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Так как точка $A$ и ребро $a$ лежат в одной плоскости $\alpha$, перпендикуляр из точки $A$ к прямой $a$ также будет лежать в этой плоскости. Проведем перпендикуляр $AC$ из точки $A$ на прямую $a$, где точка $C$ лежит на ребре $a$. Таким образом, длина отрезка $AC$ равна 8 см, и $AC \perp a$.

Теперь рассмотрим три точки: $A$, $B$ и $C$. У нас есть наклонная $AC$ к плоскости $\beta$, ее перпендикуляр $AB$ к той же плоскости и проекция наклонной $BC$ на плоскость $\beta$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное утверждение: если прямая в плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной. В нашем случае, прямая $a$ в плоскости $\beta$ перпендикулярна наклонной $AC$ ($AC \perp a$). Следовательно, прямая $a$ перпендикулярна и проекции $BC$. То есть, $BC \perp a$.

Величиной двугранного угла является его линейный угол, то есть угол между двумя лучами, проведенными в его гранях перпендикулярно ребру из одной и той же точки на ребре. В нашем случае, отрезки $AC$ и $BC$ перпендикулярны ребру $a$ в точке $C$, и при этом $AC$ лежит в грани $\alpha$, а $BC$ — в грани $\beta$. Следовательно, угол $\angle ACB$ и есть линейный угол данного двугранного угла. Обозначим его величину как $\gamma$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB$ является перпендикуляром к плоскости $\beta$, а отрезок $BC$ лежит в этой плоскости и проходит через основание перпендикуляра $B$, то $AB \perp BC$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ нам известны:

• длина катета $AB = 4\sqrt{3}$ см (этот катет противолежит углу $\gamma$);
• длина гипотенузы $AC = 8$ см.

Для нахождения величины угла $\gamma$ можно использовать тригонометрическую функцию синус, которая в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе: $$ \sin(\gamma) = \frac{AB}{AC} $$ Подставляем известные значения: $$ \sin(\gamma) = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

В условии сказано, что двугранный угол острый, следовательно, $0^\circ < \gamma < 90^\circ$. Угол в этом диапазоне, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.