Номер 14.4, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.4. На одной грани острого двугранного угла отметили точки $A$ и $D$ (рис. 14.17). Из точки $A$ опустили перпендикуляры $AB$ и $AC$ соответственно на ребро и другую грань двугранного угла. Из точки $D$ опустили перпендикуляры $DE$ и $DF$ соответственно на ребро и другую грань двугранного угла. Найдите отрезок $DE$, если $AB = 21$ см, $AC = 12$ см, $DF = 20$ см.

Рис. 14.17

Пусть дан двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями α и β, которые пересекаются по прямой m (ребро двугранного угла). Точки A и D лежат в плоскости α.

По условию, из точки A опущен перпендикуляр AB на ребро m, значит $AB \perp m$. Также из точки A опущен перпендикуляр AC на плоскость β, значит $AC \perp \beta$.

Рассмотрим треугольник ABC. AC — перпендикуляр к плоскости β, AB — наклонная к плоскости β, а BC — проекция наклонной AB на плоскость β. Так как наклонная AB перпендикулярна прямой m, лежащей в плоскости β, то по теореме о трёх перпендикулярах её проекция BC также перпендикулярна прямой m ($BC \perp m$).

Угол, образованный двумя лучами AB и BC, перпендикулярными ребру m и лежащими в гранях двугранного угла, является линейным углом этого двугранного угла. Обозначим этот угол как φ, тогда $∠ABC = φ$.

Так как $AC \perp \beta$, то отрезок AC перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой BC. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом $∠ACB = 90°$.

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла φ равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе AB: $sin(φ) = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$.

Аналогичные рассуждения проведем для точки D.

Из точки D опущен перпендикуляр DE на ребро m ($DE \perp m$) и перпендикуляр DF на плоскость β ($DF \perp \beta$). EF является проекцией наклонной DE на плоскость β.

По теореме о трёх перпендикулярах, так как $DE \perp m$, то и $EF \perp m$. Следовательно, угол $∠DEF$ также является линейным углом того же двугранного угла, то есть $∠DEF = φ$.

Так как $DF \perp \beta$, то $DF \perp EF$, и треугольник DEF является прямоугольным с прямым углом $∠DFE = 90°$.

В прямоугольном треугольнике DEF синус угла φ равен: $sin(φ) = \frac{DF}{DE} = \frac{20}{DE}$.

Так как мы получили два выражения для синуса одного и того же угла, мы можем их приравнять: $\frac{AC}{AB} = \frac{DF}{DE}$

Подставим известные значения: $\frac{12}{21} = \frac{20}{DE}$

Упростим левую часть: $\frac{4}{7} = \frac{20}{DE}$

Выразим DE: $DE = \frac{20 \cdot 7}{4} = 5 \cdot 7 = 35$ см.

Ответ: 35 см.