Номер 14.6, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.6. Точка $B$ лежит внутри двугранного угла и удалена от его граней на $\sqrt{2}$ см и $\sqrt{3}$ см, а от ребра — на 2 см. Найдите данный двугранный угол.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $l$, которая является ребром угла. Пусть точка $B$ находится внутри этого угла.

По условию задачи, нам даны расстояния от точки $B$ до граней и до ребра:

• Расстояние до грани $\alpha$ равно $\sqrt{2}$ см.
• Расстояние до грани $\beta$ равно $\sqrt{3}$ см.
• Расстояние до ребра $l$ равно 2 см.

Для нахождения величины двугранного угла необходимо построить и вычислить его линейный угол. Проведем следующие построения:

1. Опустим перпендикуляр $BA$ из точки $B$ на ребро $l$. Точка $A$ будет лежать на ребре $l$, и длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $B$ до ребра: $BA = 2$ см.
2. Опустим перпендикуляр $BC$ из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $B$ до грани $\alpha$: $BC = \sqrt{2}$ см.
3. Опустим перпендикуляр $BD$ из точки $B$ на плоскость $\beta$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $B$ до грани $\beta$: $BD = \sqrt{3}$ см.

Теперь воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. $BA$ — это наклонная к плоскости $\alpha$, $BC$ — перпендикуляр к этой плоскости, а $AC$ — проекция наклонной $BA$ на плоскость $\alpha$. Так как наклонная $BA$ перпендикулярна ребру $l$ ($BA \perp l$), то и ее проекция $AC$ перпендикулярна ребру $l$ ($AC \perp l$).

Аналогично для плоскости $\beta$: $AD$ является проекцией наклонной $BA$ на плоскость $\beta$. Так как $BA \perp l$, то и ее проекция $AD$ перпендикулярна ребру $l$ ($AD \perp l$).

Лучи $AC$ и $AD$ лежат в гранях двугранного угла и перпендикулярны его ребру $l$ в одной и той же точке $A$. Следовательно, угол $\angle CAD$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его величину через $\phi$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BAC$. Поскольку $BC$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а прямая $AC$ лежит в этой плоскости, то $BC \perp AC$. Таким образом, $\triangle BAC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $C$. В этом треугольнике мы знаем гипотенузу $BA=2$ и катет $BC=\sqrt{2}$. Найдем синус угла $\angle CAB$:

$\sin(\angle CAB) = \frac{BC}{BA} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Из этого следует, что $\angle CAB = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BAD$. Поскольку $BD$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, а прямая $AD$ лежит в этой плоскости, то $BD \perp AD$. Таким образом, $\triangle BAD$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $D$. В этом треугольнике мы знаем гипотенузу $BA=2$ и катет $BD=\sqrt{3}$. Найдем синус угла $\angle DAB$:

$\sin(\angle DAB) = \frac{BD}{BA} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Из этого следует, что $\angle DAB = 60^\circ$.

Так как точка $B$ лежит внутри двугранного угла, его линейный угол $\angle CAD$ равен сумме углов $\angle CAB$ и $\angle DAB$.

$\phi = \angle CAD = \angle CAB + \angle DAB = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ$.

Ответ: $105^\circ$.