Номер 14.11, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.11. Треугольники $ABC$ и $ACD$ лежат в разных плоскостях (рис. 14.21), причём прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Найдите двугранный угол, грани которого содержат данные треугольники, если $\angle ACD = 90^\circ$, $BC = 6$ см, $CD = 12$ см.

Рис. 14.21

По определению, мерой двугранного угла является мера его линейного угла. Линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями $(ABC)$ и $(ACD)$, — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения $AC$ из одной точки, причем один перпендикуляр лежит в плоскости $(ABC)$, а другой — в плоскости $(ACD)$.

По условию, треугольник $ACD$ — прямоугольный с $\angle ACD = 90^{\circ}$, следовательно, прямая $CD$ перпендикулярна прямой $AC$ ($CD \perp AC$). Так как $CD$ лежит в плоскости $(ACD)$, то $CD$ является одним из лучей, образующих линейный угол.

Рассмотрим прямую $BD$, которая по условию перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Тогда $BC$ является проекцией наклонной $DC$ на плоскость $(ABC)$. Прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABC)$.

Поскольку наклонная $DC$ перпендикулярна прямой $AC$ ($CD \perp AC$), то по теореме о трех перпендикулярах (обратной) ее проекция $BC$ также перпендикулярна прямой $AC$ ($BC \perp AC$).

Таким образом, мы имеем два перпендикуляра к прямой $AC$ в точке $C$: $BC$ (в плоскости $(ABC)$) и $CD$ (в плоскости $(ACD)$). Следовательно, угол $\angle BCD$ является линейным углом искомого двугранного угла.

Теперь найдем величину этого угла. Рассмотрим треугольник $BCD$. Так как прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. В частности, $BD \perp BC$. Это означает, что треугольник $BCD$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $B$ ($\angle DBC = 90^{\circ}$).

В прямоугольном треугольнике $BCD$ нам известны:

• катет $BC = 6$ см (прилежащий к углу $\angle BCD$)
• гипотенуза $CD = 12$ см

Найдем косинус угла $\angle BCD$:$$ \cos(\angle BCD) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{CD} $$$$ \cos(\angle BCD) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^{\circ}$.$$ \angle BCD = 60^{\circ} $$Следовательно, искомый двугранный угол равен $60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$.