Номер 14.18, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.18. Грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCD_1B_1C_1D_1$ является квадратом, $AD = \sqrt{3}$ см, $AA_1 = 3$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C$.

По условию, дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого грань $ABCD$ является квадратом со стороной $AD = \sqrt{3}$ см. Высота параллелепипеда $AA_1 = 3$ см. Требуется найти угол между плоскостями $(ABC)$ и $(A_1B_1C)$.

Плоскость $(ABC)$ — это плоскость нижнего основания.Рассмотрим плоскость $(A_1B_1C)$. В прямоугольном параллелепипеде ребра $A_1B_1$ и $AB$ параллельны и равны. Также, поскольку $ABCD$ — квадрат, $AB \parallel DC$. Следовательно, $A_1B_1 \parallel DC$. Две параллельные прямые $A_1B_1$ и $DC$ определяют плоскость, которой принадлежат точки $A_1$, $B_1$, $C$ и $D$. Таким образом, плоскость $(A_1B_1C)$ совпадает с плоскостью $(A_1B_1CD)$.

Следовательно, задача сводится к нахождению угла между плоскостью основания $(ABC)$ и плоскостью сечения $(A_1B_1CD)$.

Линией пересечения этих двух плоскостей является прямая $CD$. Угол между двумя плоскостями определяется величиной линейного угла соответствующего двугранного угла. Для построения линейного угла выберем на линии пересечения $CD$ точку $C$ и проведем к ней в каждой из плоскостей перпендикуляры.

1. В плоскости основания $(ABC)$, так как $ABCD$ — квадрат, сторона $BC$ перпендикулярна стороне $CD$. Таким образом, $BC \perp CD$.

2. В плоскости сечения $(A_1B_1CD)$ нам нужно найти прямую, проходящую через точку $C$ и перпендикулярную $CD$. Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе $CD$. Итак, $CC_1 \perp CD$.Так как прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CC_1$ плоскости $(BCC_1B_1)$, то прямая $CD$ перпендикулярна всей плоскости $(BCC_1B_1)$. Прямая $B_1C$ лежит в этой плоскости, следовательно, $B_1C \perp CD$.

Таким образом, линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(A_1B_1CD)$ является угол между лучами $CB$ и $CB_1$, то есть угол $\angle B_1CB$.

Для нахождения величины этого угла рассмотрим треугольник $\triangle B_1BC$. Так как ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, то оно перпендикулярно и прямой $BC$, лежащей в этой плоскости. Значит, $\angle B_1BC = 90^\circ$, и треугольник $\triangle B_1BC$ является прямоугольным.

Катеты этого треугольника равны:

• $BC = AD = \sqrt{3}$ см (так как $ABCD$ — квадрат).
• $BB_1 = AA_1 = 3$ см (высота параллелепипеда).

Найдем тангенс угла $\angle B_1CB$:$$ \tan(\angle B_1CB) = \frac{BB_1}{BC} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, искомый угол между плоскостями равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.