Номер 14.25, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.25. Диагонали ромба $ABCD$ с тупым углом при вершине $B$ равны 30 см и 40 см. Отрезок $MB$ — перпендикуляр к плоскости ромба, $MB = 24$ см. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью $CMD$.

Пусть $ABCD$ — ромб, точка $O$ — точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Так как угол при вершине $B$ тупой, то диагональ $AC$, соединяющая острые углы, будет большей, а диагональ $BD$, соединяющая тупые углы, будет меньшей.

Следовательно, $AC = 40$ см и $BD = 30$ см.

Из этого следует, что половины диагоналей равны:

$BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BOC$ ($\angle BOC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем сторону ромба $BC$:

$BC^2 = BO^2 + OC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$ см$^2$.

$BC = \sqrt{625} = 25$ см. Все стороны ромба равны 25 см, т.е. $CD=25$ см.

Угол между плоскостью ромба $(ABC)$ и плоскостью $(CMD)$ — это двугранный угол, измеряемый линейным углом. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $CD$. Для построения линейного угла нам нужно в каждой из плоскостей провести перпендикуляр к прямой $CD$ в одной и той же точке.

1. В плоскости ромба $(ABC)$ проведем высоту $BH$ к стороне $CD$. Площадь ромба можно найти двумя способами: через диагонали и через сторону и высоту.

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600$ см$^2$.

$S_{ABCD} = CD \cdot BH$.

Отсюда найдем высоту $BH$:

$BH = \frac{S_{ABCD}}{CD} = \frac{600}{25} = 24$ см.

Таким образом, мы построили $BH \perp CD$, где $BH$ лежит в плоскости ромба.

2. По условию отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости ромба $(ABC)$. Это означает, что $MB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $BH$. Следовательно, $\triangle MBH$ — прямоугольный с прямым углом $\angle MBH$.

3. Рассмотрим наклонную $MH$ и ее проекцию $BH$ на плоскость ромба. Так как проекция $BH$ перпендикулярна прямой $CD$ в плоскости ромба, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $MH$ также перпендикулярна прямой $CD$.

Итак, мы имеем:

- $BH \perp CD$ и $BH \subset (ABC)$

- $MH \perp CD$ и $MH \subset (CMD)$

Следовательно, угол $\angle MHB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(CMD)$.

4. Найдем величину угла $\angle MHB$ из прямоугольного треугольника $\triangle MBH$. Нам известны длины катетов:

- $MB = 24$ см (по условию).

- $BH = 24$ см (как мы вычислили ранее).

Так как катеты равны, треугольник $\triangle MBH$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его острые углы равны $45^\circ$.

Также можно найти тангенс угла $\angle MHB$:

$\tan(\angle MHB) = \frac{MB}{BH} = \frac{24}{24} = 1$.

$\angle MHB = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.