Номер 14.27, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.27. Катет $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ лежит в плоскости $\alpha$, а угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен $30^\circ$. Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$, если $AB = 15$ см, $BC = 9$ см.

По условию задачи, дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катет $BC$ лежит в плоскости $\alpha$. Угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$. Известны длины гипотенузы $AB = 15$ см и катета $BC = 9$ см. Требуется найти расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$.

1. Сначала найдем длину катета $AC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$, используя теорему Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.
Подставим известные значения:$15^2 = AC^2 + 9^2$$225 = AC^2 + 81$$AC^2 = 225 - 81$$AC^2 = 144$$AC = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на эту плоскость. Обозначим этот перпендикуляр как $AH$, где $H$ — основание перпендикуляра, лежащее в плоскости $\alpha$. Таким образом, $AH \perp \alpha$.

3. Угол между плоскостями (двугранный угол) измеряется линейным углом, который образуется двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей в одной точке. Линией пересечения плоскости $ABC$ и плоскости $\alpha$ является катет $BC$.
В плоскости треугольника $ABC$ катет $AC$ перпендикулярен линии пересечения $BC$, так как $\angle C = 90^\circ$.
$CH$ является проекцией наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($AC$) перпендикулярна прямой ($BC$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($CH$) перпендикулярна этой прямой ($CH \perp BC$).
Следовательно, угол $\angle ACH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$. По условию, этот угол равен $30^\circ$, то есть $\angle ACH = 30^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $AHC$. Так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а отрезок $CH$ лежит в этой плоскости, то $AH \perp CH$. Значит, треугольник $AHC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AHC = 90^\circ$.
В этом треугольнике мы знаем гипотенузу $AC = 12$ см и угол $\angle ACH = 30^\circ$. Искомое расстояние — это катет $AH$.
Найдем $AH$ через синус угла $\angle ACH$:$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$$AH = AC \cdot \sin(30^\circ)$$AH = 12 \cdot \frac{1}{2}$$AH = 6$ см.

Ответ: 6 см.