Номер 14.31, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.31. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ABD$, имеющие общее основание $AB$, лежат в гранях двугранного угла с ребром $AB$, величина которого равна $60^\circ$. Найдите расстояние между точками $C$ и $D$, если $AD = 10 \text{ см}$, $AB = 16 \text{ см}$, $\angle ACB = 90^\circ$.

Поскольку равнобедренные треугольники $ABC$ и $ABD$ имеют общее основание $AB$, то их высоты, опущенные на это основание, пересекутся с $AB$ в одной и той же точке — середине $AB$. Обозначим эту точку как $H$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$.

Треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB=16$ см и, по условию, $\angle ACB = 90^\circ$. Значит, это прямоугольный равнобедренный треугольник. $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно:

$CH = \frac{1}{2}AB = \frac{16}{2} = 8$ см.

2. Рассмотрим треугольник $ABD$.

Треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $AB=16$ см и боковыми сторонами $AD=BD=10$ см. $DH$ — высота, проведенная к основанию $AB$. Точка $H$ является серединой $AB$, поэтому $AH = \frac{1}{2}AB = \frac{16}{2} = 8$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH$. По теореме Пифагора:

$DH^2 = AD^2 - AH^2$

$DH^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$

$DH = \sqrt{36} = 6$ см.

3. Найдем расстояние $CD$.

Треугольники $ABC$ и $ABD$ лежат в гранях двугранного угла с ребром $AB$. Отрезки $CH$ и $DH$ перпендикулярны ребру $AB$ в одной точке $H$. Следовательно, угол между этими отрезками, $\angle CHD$, является линейным углом двугранного угла, и по условию $\angle CHD = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $CHD$. Мы знаем длины двух его сторон ($CH=8$ см, $DH=6$ см) и угол между ними ($\angle CHD = 60^\circ$). Чтобы найти длину третьей стороны $CD$, воспользуемся теоремой косинусов:

$CD^2 = CH^2 + DH^2 - 2 \cdot CH \cdot DH \cdot \cos(\angle CHD)$

$CD^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, подставим это значение в формулу:

$CD^2 = 64 + 36 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$

$CD^2 = 100 - 48 = 52$

$CD = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Ответ: $2\sqrt{13}$ см.