Номер 14.24, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.24. Точка $D$ равноудалена от вершин равностороннего треугольника $ABC$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$, если $AB = 12$ см, а точка $D$ удалена от плоскости $ABC$ на 2 см.

Пусть $O$ — проекция точки $D$ на плоскость треугольника $ABC$. Так как точка $D$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$, то есть $DA = DB = DC$, то ее проекция $O$ на плоскость $ABC$ равноудалена от вершин этого треугольника, то есть $OA = OB = OC$. Таким образом, точка $O$ является центром описанной окружности около треугольника $ABC$. Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, точка $O$ также является его центром (точкой пересечения медиан, высот и биссектрис).

Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра $DO$. По условию, $DO = 2$ см.

Угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$ — это двугранный угол между ними. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $AB$. Для нахождения линейного угла этого двугранного угла построим перпендикуляры к прямой $AB$ в каждой из плоскостей, проведенные из одной точки.

Пусть $M$ — середина стороны $AB$.

1. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $CM$ является также и высотой. Следовательно, $CM \perp AB$.

2. В треугольнике $ABD$, так как $DA=DB$, он является равнобедренным. Медиана $DM$, проведенная к основанию $AB$, также является высотой. Следовательно, $DM \perp AB$.

Таким образом, угол $\angle DMC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ABD$. Найдем его величину.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DOM$ (угол $\angle DOM = 90^\circ$, так как $DO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $OM$ лежит в этой плоскости). В этом треугольнике нам известна длина катета $DO=2$ см. Найдем длину катета $OM$.

Сначала найдем длину высоты $CM$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a = AB = 12$ см. $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Так как точка $O$ — центр треугольника (точка пересечения медиан), она делит медиану $CM$ в отношении 2:1, считая от вершины. То есть $CO:OM = 2:1$. Отсюда: $OM = \frac{1}{3}CM = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $DOM$ мы знаем длины обоих катетов: $DO = 2$ см и $OM = 2\sqrt{3}$ см. Найдем тангенс угла $\angle DMO$, который и является искомым углом $\angle DMC$.

$\tan(\angle DMO) = \frac{DO}{OM} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$. Следовательно, $\angle DMO = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.