Страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.23. Точка $D$ равноудалена от вершин прямоугольного треугольника $ABC (\angle ACB = 90^\circ)$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$, если $AC = BC = 2$ см, а точка $D$ удалена от плоскости $ABC$ на $\sqrt{3}$ см.

Поскольку точка $D$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$, ее проекция на плоскость $ABC$, назовем ее точка $H$, является центром описанной окружности треугольника $ABC$.

Треугольник $ABC$ является прямоугольным с $\angle ACB = 90^\circ$. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине его гипотенузы. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Точка $H$ — середина гипотенузы $AB$. Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра $DH$, то есть $DH = \sqrt{3}$ см.

Угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$ — это двугранный угол, образованный этими плоскостями. Его мерой является линейный угол, который мы построим. Линия пересечения плоскостей — это прямая $AC$.

Проведем в плоскости $ABC$ из точки $H$ перпендикуляр $HK$ к прямой $AC$.
Соединим точки $D$ и $K$. Так как $DH$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $HK$ — проекция наклонной $DK$ на эту плоскость, и $HK \perp AC$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $DK$ также перпендикулярна $AC$ ($DK \perp AC$).

Следовательно, угол $\angle DKH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ACD$. Найдем его из прямоугольного треугольника $DHK$ ( $\angle DHK = 90^\circ$ ).

Для этого нужно найти длину катета $HK$. Рассмотрим треугольник $ABC$ на плоскости. Так как $\triangle ABC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, то $\angle CAB = 45^\circ$. Точка $H$ — середина $AB$, значит $AH = \frac{1}{2}AB = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHK$ ( $\angle AKH = 90^\circ$ ). В нем:
$HK = AH \cdot \sin(\angle CAB) = \sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $DHK$. Мы знаем длины двух катетов: $DH = \sqrt{3}$ см и $HK = 1$ см. Найдем тангенс угла $\angle DKH$:
$\tan(\angle DKH) = \frac{DH}{HK} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

14.24. Точка $D$ равноудалена от вершин равностороннего треугольника $ABC$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$, если $AB = 12$ см, а точка $D$ удалена от плоскости $ABC$ на 2 см.

Пусть $O$ — проекция точки $D$ на плоскость треугольника $ABC$. Так как точка $D$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$, то есть $DA = DB = DC$, то ее проекция $O$ на плоскость $ABC$ равноудалена от вершин этого треугольника, то есть $OA = OB = OC$. Таким образом, точка $O$ является центром описанной окружности около треугольника $ABC$. Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, точка $O$ также является его центром (точкой пересечения медиан, высот и биссектрис).

Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра $DO$. По условию, $DO = 2$ см.

Угол между плоскостями $ABC$ и $ABD$ — это двугранный угол между ними. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $AB$. Для нахождения линейного угла этого двугранного угла построим перпендикуляры к прямой $AB$ в каждой из плоскостей, проведенные из одной точки.

Пусть $M$ — середина стороны $AB$.

1. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $CM$ является также и высотой. Следовательно, $CM \perp AB$.

2. В треугольнике $ABD$, так как $DA=DB$, он является равнобедренным. Медиана $DM$, проведенная к основанию $AB$, также является высотой. Следовательно, $DM \perp AB$.

Таким образом, угол $\angle DMC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ABD$. Найдем его величину.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DOM$ (угол $\angle DOM = 90^\circ$, так как $DO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $OM$ лежит в этой плоскости). В этом треугольнике нам известна длина катета $DO=2$ см. Найдем длину катета $OM$.

Сначала найдем длину высоты $CM$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a = AB = 12$ см. $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Так как точка $O$ — центр треугольника (точка пересечения медиан), она делит медиану $CM$ в отношении 2:1, считая от вершины. То есть $CO:OM = 2:1$. Отсюда: $OM = \frac{1}{3}CM = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $DOM$ мы знаем длины обоих катетов: $DO = 2$ см и $OM = 2\sqrt{3}$ см. Найдем тангенс угла $\angle DMO$, который и является искомым углом $\angle DMC$.

$\tan(\angle DMO) = \frac{DO}{OM} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$. Следовательно, $\angle DMO = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

14.25. Диагонали ромба $ABCD$ с тупым углом при вершине $B$ равны 30 см и 40 см. Отрезок $MB$ — перпендикуляр к плоскости ромба, $MB = 24$ см. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью $CMD$.

Пусть $ABCD$ — ромб, точка $O$ — точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Так как угол при вершине $B$ тупой, то диагональ $AC$, соединяющая острые углы, будет большей, а диагональ $BD$, соединяющая тупые углы, будет меньшей.

Следовательно, $AC = 40$ см и $BD = 30$ см.

Из этого следует, что половины диагоналей равны:

$BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BOC$ ($\angle BOC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем сторону ромба $BC$:

$BC^2 = BO^2 + OC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$ см$^2$.

$BC = \sqrt{625} = 25$ см. Все стороны ромба равны 25 см, т.е. $CD=25$ см.

Угол между плоскостью ромба $(ABC)$ и плоскостью $(CMD)$ — это двугранный угол, измеряемый линейным углом. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $CD$. Для построения линейного угла нам нужно в каждой из плоскостей провести перпендикуляр к прямой $CD$ в одной и той же точке.

1. В плоскости ромба $(ABC)$ проведем высоту $BH$ к стороне $CD$. Площадь ромба можно найти двумя способами: через диагонали и через сторону и высоту.

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600$ см$^2$.

$S_{ABCD} = CD \cdot BH$.

Отсюда найдем высоту $BH$:

$BH = \frac{S_{ABCD}}{CD} = \frac{600}{25} = 24$ см.

Таким образом, мы построили $BH \perp CD$, где $BH$ лежит в плоскости ромба.

2. По условию отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости ромба $(ABC)$. Это означает, что $MB$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $BH$. Следовательно, $\triangle MBH$ — прямоугольный с прямым углом $\angle MBH$.

3. Рассмотрим наклонную $MH$ и ее проекцию $BH$ на плоскость ромба. Так как проекция $BH$ перпендикулярна прямой $CD$ в плоскости ромба, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $MH$ также перпендикулярна прямой $CD$.

Итак, мы имеем:

- $BH \perp CD$ и $BH \subset (ABC)$

- $MH \perp CD$ и $MH \subset (CMD)$

Следовательно, угол $\angle MHB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(CMD)$.

4. Найдем величину угла $\angle MHB$ из прямоугольного треугольника $\triangle MBH$. Нам известны длины катетов:

- $MB = 24$ см (по условию).

- $BH = 24$ см (как мы вычислили ранее).

Так как катеты равны, треугольник $\triangle MBH$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его острые углы равны $45^\circ$.

Также можно найти тангенс угла $\angle MHB$:

$\tan(\angle MHB) = \frac{MB}{BH} = \frac{24}{24} = 1$.

$\angle MHB = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

14.26. Отрезок $MC$ — перпендикуляр к плоскости квадрата $ABCD$. Угол между плоскостью квадрата и плоскостью $AMD$ равен $45^\circ$. Найдите площадь квадрата, если точка $M$ удалена от прямой $AD$ на 10 см.

Поскольку отрезок $MC$ перпендикулярен плоскости квадрата $ABCD$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $MC \perp CD$. Следовательно, треугольник $MCD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($ \angle MCD = 90^\circ $).

Угол между плоскостью квадрата $(ABC)$ и плоскостью $(AMD)$ — это двугранный угол. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AD$. Для нахождения линейного угла этого двугранного угла необходимо построить перпендикуляры к линии пересечения $AD$ в каждой из плоскостей, проведенные к одной точке.

В плоскости квадрата $(ABC)$ сторона $CD$ перпендикулярна стороне $AD$ ($CD \perp AD$), так как $ABCD$ — квадрат.

Рассмотрим наклонную $MD$ к плоскости $(ABC)$ и ее проекцию $CD$. Поскольку проекция $CD$ перпендикулярна прямой $AD$, лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MD$ перпендикулярна прямой $AD$ ($MD \perp AD$).

Таким образом, угол $\angle MDC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(AMD)$. По условию, этот угол равен $45^\circ$, то есть $\angle MDC = 45^\circ$.

Расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $AD$. Мы доказали, что $MD \perp AD$, значит, длина отрезка $MD$ и есть это расстояние. По условию, $MD = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MCD$. В нем известны гипотенуза $MD = 10$ см и острый угол $\angle MDC = 45^\circ$. Найдем катет $CD$, который является стороной квадрата $ABCD$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике:

$CD = MD \cdot \cos(\angle MDC)$

$CD = 10 \cdot \cos(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Площадь квадрата $ABCD$ вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — сторона квадрата. В нашем случае $a = CD$.

$S_{ABCD} = (CD)^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$ см$^2$.

Ответ: 50 см$^2$.

14.27. Катет $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ лежит в плоскости $\alpha$, а угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен $30^\circ$. Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$, если $AB = 15$ см, $BC = 9$ см.

По условию задачи, дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катет $BC$ лежит в плоскости $\alpha$. Угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$. Известны длины гипотенузы $AB = 15$ см и катета $BC = 9$ см. Требуется найти расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$.

1. Сначала найдем длину катета $AC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$, используя теорему Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.
Подставим известные значения:$15^2 = AC^2 + 9^2$$225 = AC^2 + 81$$AC^2 = 225 - 81$$AC^2 = 144$$AC = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на эту плоскость. Обозначим этот перпендикуляр как $AH$, где $H$ — основание перпендикуляра, лежащее в плоскости $\alpha$. Таким образом, $AH \perp \alpha$.

3. Угол между плоскостями (двугранный угол) измеряется линейным углом, который образуется двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей в одной точке. Линией пересечения плоскости $ABC$ и плоскости $\alpha$ является катет $BC$.
В плоскости треугольника $ABC$ катет $AC$ перпендикулярен линии пересечения $BC$, так как $\angle C = 90^\circ$.
$CH$ является проекцией наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($AC$) перпендикулярна прямой ($BC$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($CH$) перпендикулярна этой прямой ($CH \perp BC$).
Следовательно, угол $\angle ACH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$. По условию, этот угол равен $30^\circ$, то есть $\angle ACH = 30^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $AHC$. Так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а отрезок $CH$ лежит в этой плоскости, то $AH \perp CH$. Значит, треугольник $AHC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AHC = 90^\circ$.
В этом треугольнике мы знаем гипотенузу $AC = 12$ см и угол $\angle ACH = 30^\circ$. Искомое расстояние — это катет $AH$.
Найдем $AH$ через синус угла $\angle ACH$:$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$$AH = AC \cdot \sin(30^\circ)$$AH = 12 \cdot \frac{1}{2}$$AH = 6$ см.

Ответ: 6 см.

14.28. Через основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ проведена плоскость $\alpha$. Угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен $45^\circ$. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, если $AC = 12$ см, $AB = 10$ см.

Пусть $ABC$ — данный равнобедренный треугольник с основанием $AC$, где $AB = BC = 10$ см и $AC = 12$ см. Плоскость $\alpha$ проходит через основание $AC$. Угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$ равен $45^\circ$. Искомое расстояние — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на плоскость $\alpha$.

Сначала проведем в треугольнике $ABC$ высоту $BH$ к основанию $AC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BH$ является также и медианой. Следовательно, точка $H$ — середина отрезка $AC$. Найдем длину $AH$:
$AH = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (с прямым углом $\angle AHB$). По теореме Пифагора найдем длину высоты $BH$:
$BH^2 = AB^2 - AH^2$
$BH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
$BH = \sqrt{64} = 8$ см.

Пусть $BK$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Длина отрезка $BK$ и есть искомое расстояние.Прямая $AC$ является линией пересечения плоскости $ABC$ и плоскости $\alpha$. В плоскости $ABC$ мы провели высоту $BH$, перпендикулярную $AC$. Отрезок $KH$ является проекцией наклонной $BH$ на плоскость $\alpha$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $BH \perp AC$, то и ее проекция $KH$ также перпендикулярна $AC$.

Следовательно, угол $\angle BHK$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$. По условию задачи, этот угол равен $45^\circ$, то есть $\angle BHK = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BHK$. Так как $BK$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $KH$. Значит, треугольник $BHK$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BKH = 90^\circ$.В этом треугольнике мы знаем гипотенузу $BH = 8$ см и острый угол $\angle BHK = 45^\circ$. Найдем катет $BK$, который противолежит этому углу:
$BK = BH \cdot \sin(\angle BHK)$
$BK = 8 \cdot \sin(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

14.29. Сторона $BC$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а вершина $A$ удалена от этой плоскости на $2\sqrt{2}$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$, если $AB = 8$ см, $\angle ABC = 150^\circ$.

Пусть $\phi$ — искомый угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$. По определению, угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения в одной точке. Линией пересечения плоскостей $ABC$ и $\alpha$ является прямая $BC$.

1. Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ к прямой $BC$. Так как $AH$ — высота, то $AH \perp BC$.

2. Из вершины $A$ опустим перпендикуляр $AA'$ на плоскость $\alpha$. По условию, длина этого перпендикуляра (расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$) равна $AA' = 2\sqrt{2}$ см. Точка $A'$ является проекцией точки $A$ на плоскость $\alpha$.

3. Соединим точки $A'$ и $H$. Отрезок $AH$ является наклонной к плоскости $\alpha$, а отрезок $A'H$ — ее проекцией на эту плоскость. Поскольку наклонная $AH$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости $\alpha$, то по теореме о трех перпендикулярах ее проекция $A'H$ также перпендикулярна прямой $BC$ ($A'H \perp BC$).

4. Таким образом, мы имеем два перпендикуляра ($AH$ и $A'H$) к линии пересечения $BC$, проведенные в одной точке $H$. Угол между ними, $\angle AHA'$, и является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$. Следовательно, $\phi = \angle AHA'$.

5. Рассмотрим треугольник $AHA'$. Так как $AA' \perp \alpha$, то $AA'$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $A'H$. Значит, $\triangle AHA'$ — прямоугольный с прямым углом $\angle AA'H = 90^\circ$.

6. Найдем длину высоты $AH$ треугольника $ABC$. Поскольку угол $\angle ABC = 150^\circ$ является тупым, высота $AH$ будет лежать вне треугольника $ABC$ и опускаться на продолжение стороны $BC$ за точку $B$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB = 90^\circ$). Угол $\angle ABH$ смежен с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. В этом треугольнике $AH$ — катет, противолежащий углу $30^\circ$, а $AB$ — гипотенуза.$AH = AB \cdot \sin(\angle ABH) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

7. Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $AHA'$. Мы знаем катет $AA' = 2\sqrt{2}$ см и гипотенузу $AH = 4$ см. Найдем синус угла $\phi = \angle AHA'$:$\sin(\phi) = \frac{AA'}{AH} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда следует, что угол $\phi = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

14.30. Сторона $AD$ ромба $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$, а расстояние между прямой $BC$ и этой плоскостью равно $7\sqrt{3}$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$, если сторона ромба равна 28 см, а $\angle BAD = 30^\circ$.

Пусть $\alpha$ — данная плоскость, а плоскость ромба $ABCD$ обозначим как $\beta$.
По условию, сторона $AD$ ромба лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $AD$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

В ромбе $ABCD$ противоположные стороны параллельны, поэтому $BC \parallel AD$. Так как прямая $AD$ лежит в плоскости $\alpha$, то и прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$ ($BC \parallel \alpha$).

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости есть длина перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на эту плоскость. Опустим из точки $B$ перпендикуляр $BK$ на плоскость $\alpha$. По условию, длина этого перпендикуляра равна $7\sqrt{3}$ см, то есть $BK = 7\sqrt{3}$ см.

Угол между плоскостями $\beta$ и $\alpha$ — это двугранный угол, образованный этими плоскостями. Для нахождения величины этого угла построим его линейный угол. Для этого в плоскости ромба $\beta$ проведём высоту $BH$ к стороне $AD$. Таким образом, по определению высоты, $BH \perp AD$.

Точка $K$ является проекцией точки $B$ на плоскость $\alpha$. Прямая $KH$ является проекцией наклонной $BH$ на плоскость $\alpha$. Согласно теореме о трёх перпендикулярах, так как наклонная $BH$ перпендикулярна прямой $AD$ (которая лежит в плоскости $\alpha$), то и её проекция $KH$ перпендикулярна прямой $AD$ ($KH \perp AD$).

Поскольку $BH \perp AD$ и $KH \perp AD$, то угол $\angle BHK$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\beta$ и $\alpha$. Обозначим этот угол как $\phi$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BKH$. Так как $BK$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а прямая $KH$ лежит в этой плоскости, то $BK \perp KH$. Следовательно, $\triangle BKH$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle BKH$.

В этом треугольнике катет $BK = 7\sqrt{3}$ см, а гипотенуза — это высота ромба $BH$. Найдём длину высоты $BH$. В ромбе $ABCD$ рассмотрим треугольник $\triangle ABH$. Он прямоугольный ($\angle BHA = 90^\circ$), гипотенуза $AB$ — это сторона ромба, равная 28 см, а угол $\angle BAH = \angle BAD = 30^\circ$.
Катет $BH$ лежит напротив угла в $30^\circ$, значит:
$BH = AB \cdot \sin(\angle BAD) = 28 \cdot \sin(30^\circ) = 28 \cdot \frac{1}{2} = 14$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle BKH$ мы можем найти синус искомого угла $\phi = \angle BHK$:
$\sin \phi = \frac{BK}{BH} = \frac{7\sqrt{3}}{14} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, угол между плоскостью $ABC$ и плоскостью $\alpha$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

14.31. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ABD$, имеющие общее основание $AB$, лежат в гранях двугранного угла с ребром $AB$, величина которого равна $60^\circ$. Найдите расстояние между точками $C$ и $D$, если $AD = 10 \text{ см}$, $AB = 16 \text{ см}$, $\angle ACB = 90^\circ$.

Поскольку равнобедренные треугольники $ABC$ и $ABD$ имеют общее основание $AB$, то их высоты, опущенные на это основание, пересекутся с $AB$ в одной и той же точке — середине $AB$. Обозначим эту точку как $H$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$.

Треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB=16$ см и, по условию, $\angle ACB = 90^\circ$. Значит, это прямоугольный равнобедренный треугольник. $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно:

$CH = \frac{1}{2}AB = \frac{16}{2} = 8$ см.

2. Рассмотрим треугольник $ABD$.

Треугольник $ABD$ — равнобедренный с основанием $AB=16$ см и боковыми сторонами $AD=BD=10$ см. $DH$ — высота, проведенная к основанию $AB$. Точка $H$ является серединой $AB$, поэтому $AH = \frac{1}{2}AB = \frac{16}{2} = 8$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH$. По теореме Пифагора:

$DH^2 = AD^2 - AH^2$

$DH^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$

$DH = \sqrt{36} = 6$ см.

3. Найдем расстояние $CD$.

Треугольники $ABC$ и $ABD$ лежат в гранях двугранного угла с ребром $AB$. Отрезки $CH$ и $DH$ перпендикулярны ребру $AB$ в одной точке $H$. Следовательно, угол между этими отрезками, $\angle CHD$, является линейным углом двугранного угла, и по условию $\angle CHD = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $CHD$. Мы знаем длины двух его сторон ($CH=8$ см, $DH=6$ см) и угол между ними ($\angle CHD = 60^\circ$). Чтобы найти длину третьей стороны $CD$, воспользуемся теоремой косинусов:

$CD^2 = CH^2 + DH^2 - 2 \cdot CH \cdot DH \cdot \cos(\angle CHD)$

$CD^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, подставим это значение в формулу:

$CD^2 = 64 + 36 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$

$CD^2 = 100 - 48 = 52$

$CD = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Ответ: $2\sqrt{13}$ см.

14.32. Треугольники $ABC$ и $ADC$ лежат в разных плоскостях, $AB = BC = AD = CD = 4$ см, $AC = 6$ см, $BD = \sqrt{21}$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ADC$.

Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения из одной точки. В данном случае плоскости $(ABC)$ и $(ADC)$ пересекаются по прямой $AC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AB = BC = 4$ см, он является равнобедренным. Проведем медиану $BM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BM \perp AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$, так как $AD = CD = 4$ см, он также является равнобедренным. Проведем медиану $DM$ к основанию $AC$. Эта медиана также является высотой, следовательно, $DM \perp AC$.

Поскольку оба отрезка $BM$ и $DM$ перпендикулярны общей прямой $AC$ и выходят из одной точки $M$ на этой прямой, угол $\angle BMD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(ADC)$. Найдем величину этого угла.

Для этого найдем длины сторон треугольника $BMD$. По условию, $BD = \sqrt{21}$ см.

Найдем длину $BM$. Точка $M$ является серединой $AC$, поэтому $AM = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (угол $\angle AMB = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $BM^2 = AB^2 - AM^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$. Отсюда $BM = \sqrt{7}$ см.

Треугольники $ABC$ и $ADC$ равны по трем сторонам ($AB=AD=4$, $BC=CD=4$, $AC$ — общая сторона). Следовательно, их высоты, проведенные к общей стороне $AC$, равны: $DM = BM = \sqrt{7}$ см.

Теперь мы знаем все стороны треугольника $BMD$: $BM = \sqrt{7}$ см, $DM = \sqrt{7}$ см, $BD = \sqrt{21}$ см. Чтобы найти угол $\angle BMD$, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $BMD$: $BD^2 = BM^2 + DM^2 - 2 \cdot BM \cdot DM \cdot \cos(\angle BMD)$ $(\sqrt{21})^2 = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot \cos(\angle BMD)$ $21 = 7 + 7 - 2 \cdot 7 \cdot \cos(\angle BMD)$ $21 = 14 - 14 \cdot \cos(\angle BMD)$ $14 \cdot \cos(\angle BMD) = 14 - 21$ $14 \cdot \cos(\angle BMD) = -7$ $\cos(\angle BMD) = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$

Из полученного значения косинуса находим угол: $\angle BMD = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

14.33. Точки $A$ и $C$ принадлежат разным граням двугранного угла, равного $120^\circ$. Из точки $A$ опустили перпендикуляр $AB$, а из точки $C$ — перпендикуляр $CD$ на ребро двугранного угла. Найдите отрезок $AC$, если $AB = 7$ см, $BD = 3$ см, $CD = 11$ см.

Для решения задачи используем метод пространственного построения. Пусть $l$ - ребро двугранного угла. По условию, точки $A$ и $C$ лежат в разных гранях. Из точек $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AB$ и $CD$ на ребро $l$. Это означает, что $B, D \in l$, $AB \perp l$ и $CD \perp l$.

1. Проведем через точку $C$ плоскость $\alpha$, перпендикулярную ребру $l$. Так как $CD \perp l$, отрезок $CD$ лежит в этой плоскости $\alpha$.

2. Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AA'$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $AA'$ будет параллелен ребру $l$ и перпендикулярен плоскости $\alpha$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию между точками $B$ и $D$ на ребре, то есть $AA' = BD = 3$ см.

3. Поскольку $AA'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, в которой лежит отрезок $A'C$, то треугольник $AA'C$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A'$. По теореме Пифагора, квадрат искомого расстояния $AC$ равен:

$AC^2 = AA'^2 + A'C^2$

4. Теперь найдем длину отрезка $A'C$. Точки $A'$, $D$ и $C$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Рассмотрим треугольник $A'DC$ в этой плоскости.

• Сторона $CD$ нам известна: $CD = 11$ см.
• Сторона $DA'$ является проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ при параллельном переносе вдоль ребра $l$. Следовательно, $DA' = AB = 7$ см.
• Угол $\angle A'DC$ в плоскости $\alpha$ является линейным углом двугранного угла, так как лучи $DA'$ и $DC$ лежат в разных гранях (или параллельны соответствующим лучам в гранях), исходят из одной точки $D$ на ребре и перпендикулярны ему. По условию, этот угол равен $120^\circ$.

5. Применим теорему косинусов для треугольника $A'DC$, чтобы найти квадрат стороны $A'C$:

$A'C^2 = DA'^2 + DC^2 - 2 \cdot DA' \cdot DC \cdot \cos(\angle A'DC)$

$A'C^2 = 7^2 + 11^2 - 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:

$A'C^2 = 49 + 121 - 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot (-1/2)$

$A'C^2 = 170 + 77 = 247$

6. Теперь вернемся к треугольнику $AA'C$ и подставим найденные значения:

$AC^2 = AA'^2 + A'C^2$

$AC^2 = 3^2 + 247 = 9 + 247 = 256$

7. Находим длину отрезка $AC$:

$AC = \sqrt{256} = 16$ см.

Ответ: 16 см.