Номер 14.28, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.28. Через основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ проведена плоскость $\alpha$. Угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен $45^\circ$. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, если $AC = 12$ см, $AB = 10$ см.

Пусть $ABC$ — данный равнобедренный треугольник с основанием $AC$, где $AB = BC = 10$ см и $AC = 12$ см. Плоскость $\alpha$ проходит через основание $AC$. Угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$ равен $45^\circ$. Искомое расстояние — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на плоскость $\alpha$.

Сначала проведем в треугольнике $ABC$ высоту $BH$ к основанию $AC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $BH$ является также и медианой. Следовательно, точка $H$ — середина отрезка $AC$. Найдем длину $AH$:
$AH = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (с прямым углом $\angle AHB$). По теореме Пифагора найдем длину высоты $BH$:
$BH^2 = AB^2 - AH^2$
$BH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
$BH = \sqrt{64} = 8$ см.

Пусть $BK$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Длина отрезка $BK$ и есть искомое расстояние.Прямая $AC$ является линией пересечения плоскости $ABC$ и плоскости $\alpha$. В плоскости $ABC$ мы провели высоту $BH$, перпендикулярную $AC$. Отрезок $KH$ является проекцией наклонной $BH$ на плоскость $\alpha$. По теореме о трех перпендикулярах, так как $BH \perp AC$, то и ее проекция $KH$ также перпендикулярна $AC$.

Следовательно, угол $\angle BHK$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$. По условию задачи, этот угол равен $45^\circ$, то есть $\angle BHK = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BHK$. Так как $BK$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $KH$. Значит, треугольник $BHK$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BKH = 90^\circ$.В этом треугольнике мы знаем гипотенузу $BH = 8$ см и острый угол $\angle BHK = 45^\circ$. Найдем катет $BK$, который противолежит этому углу:
$BK = BH \cdot \sin(\angle BHK)$
$BK = 8 \cdot \sin(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.