Номер 14.22, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.22. Ребро $DB$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$ (рис. 14.26), $\angle ACB = 90^\circ$, $AC = BC = 7$ см, $AD = 7\sqrt{5}$ см. Найдите двугранный угол, грани которого содержат треугольники $ABC$ и $ACD$.

Двугранный угол между гранями, содержащими треугольники $ABC$ и $ACD$, определяется линейным углом, построенным на их общем ребре $AC$.

По условию, ребро $DB$ перпендикулярно плоскости $ABC$. Это означает, что $DB$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $DC$ — наклонная, а $BC$ — проекция наклонной $DC$ на плоскость $ABC$.

В треугольнике $ABC$ задано, что $\angle ACB = 90^\circ$, следовательно, $BC \perp AC$.

Применим теорему о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной ($AC$), перпендикулярна ее проекции ($BC$), то она перпендикулярна и самой наклонной ($DC$). Таким образом, получаем, что $DC \perp AC$.

Так как $BC \perp AC$ и $DC \perp AC$, то угол $\angle DCB$ является линейным углом искомого двугранного угла. Наша задача — найти величину этого угла.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем квадрат гипотенузы $AB$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98$.

2. Так как $DB$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $DB$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AB$. Следовательно, треугольник $ADB$ является прямоугольным ($\angle DBA = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем катет $DB$:
$DB^2 = AD^2 - AB^2 = (7\sqrt{5})^2 - 98 = 49 \cdot 5 - 98 = 245 - 98 = 147$.
$DB = \sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}$ см.

3. Так как $DB$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $DB \perp BC$. Следовательно, треугольник $DBC$ является прямоугольным ($\angle DBC = 90^\circ$). В этом треугольнике мы можем найти тангенс угла $\angle DCB$:
$\text{tg}(\angle DCB) = \frac{DB}{BC} = \frac{7\sqrt{3}}{7} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\angle DCB = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.