Номер 14.20, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.20. Плоскость $\alpha$ пересекает грани двугранного угла по параллельным прямым $m$ и $n$. Расстояние от ребра двугранного угла до прямой $m$ равно 3 см, до прямой $n$ — 5 см, а расстояние между прямыми $m$ и $n$ — 7 см. Найдите данный двугранный угол.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $P_1$ и $P_2$ с ребром $r$. По условию, плоскость $\alpha$ пересекает эти полуплоскости по параллельным прямым $m$ и $n$ соответственно, то есть $m \subset P_1$, $n \subset P_2$ и $m \parallel n$.

Поскольку параллельные прямые $m$ и $n$ лежат в пересекающихся плоскостях $P_1$ и $P_2$, они обе параллельны линии пересечения этих плоскостей, то есть ребру $r$. Таким образом, $m \parallel r$ и $n \parallel r$.

Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Для этого выберем произвольную точку $O$ на ребре $r$ и проведём через неё плоскость $\beta$, перпендикулярную ребру $r$.

Так как прямые $m$ и $n$ параллельны $r$, плоскость $\beta$ будет перпендикулярна и прямым $m$ и $n$.Пусть плоскость $\beta$ пересекает прямые $m$ и $n$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Тогда угол $\angle MON$ является линейным углом данного двугранного угла. Найдём его величину.

Рассмотрим треугольник $\triangle MON$, который лежит в плоскости $\beta$. Длины его сторон определяются из условия задачи:

• Расстояние от ребра $r$ до прямой $m$ — это длина общего перпендикуляра к этим параллельным прямым. Отрезок $OM$ лежит в плоскости $\beta$, перпендикулярной к $r$ и $m$, и соединяет эти прямые, следовательно, $OM$ и есть этот перпендикуляр. Таким образом, $OM = 3$ см.
• Аналогично, расстояние от ребра $r$ до прямой $n$ равно длине отрезка $ON$. Таким образом, $ON = 5$ см.
• Расстояние между параллельными прямыми $m$ и $n$ — это длина их общего перпендикуляра. Отрезок $MN$ лежит в плоскости $\beta$, перпендикулярной к $m$ и $n$, и соединяет эти прямые, следовательно, $MN$ является их общим перпендикуляром. Таким образом, $MN = 7$ см.

Итак, мы имеем треугольник $\triangle MON$ со сторонами $OM=3$ см, $ON=5$ см, $MN=7$ см. Угол $\angle MON$ — искомый двугранный угол. Обозначим его $\phi$.

Для нахождения угла $\phi$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $\triangle MON$:$MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 \cdot OM \cdot ON \cdot \cos(\phi)$

Подставим известные значения:$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\phi)$$49 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos(\phi)$$49 = 34 - 30 \cdot \cos(\phi)$

Выразим $\cos(\phi)$:$30 \cdot \cos(\phi) = 34 - 49$$30 \cdot \cos(\phi) = -15$$\cos(\phi) = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$

Величина двугранного угла может быть от $0^\circ$ до $180^\circ$. Угол, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$ в этом диапазоне, равен $120^\circ$.$\phi = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.