Номер 14.21, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.21. Ребро $DA$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно плоскости $ABC$ (рис. 14.25), $AB = BC = AC = 8$ см, $BD = 4\sqrt{7}$ см. Найдите двугранный угол, грани которого содержат треугольники $ABC$ и $BCD$.

Рис. 14.25

Двугранный угол между плоскостями $ABC$ и $BCD$ измеряется величиной его линейного угла. Линия пересечения этих плоскостей — ребро $BC$.

Для построения линейного угла проведем в плоскости $ABC$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний по условию ($AB = BC = AC = 8$ см), его высота $AH$ также является и медианой.

Поскольку ребро $DA$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $DA$ является перпендикуляром к этой плоскости, $DH$ — наклонная, а $AH$ — проекция этой наклонной на плоскость $ABC$. Так как проекция $AH$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости ($AH \perp BC$), то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $DH$ перпендикулярна прямой $BC$ ($DH \perp BC$).

Так как $AH \perp BC$ и $DH \perp BC$, то угол $\angle DHA$ является линейным углом двугранного угла между гранями $ABC$ и $BCD$.

Найдем величину угла $\angle DHA$. Поскольку $DA \perp (ABC)$, то $DA$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AH$. Следовательно, треугольник $DAH$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DAH$.

Найдем длины катетов $DA$ и $AH$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DAB$ (угол $\angle DAB = 90^\circ$, так как $DA \perp (ABC)$). По теореме Пифагора:
$DA^2 + AB^2 = DB^2$
$DA = \sqrt{DB^2 - AB^2} = \sqrt{(4\sqrt{7})^2 - 8^2} = \sqrt{16 \cdot 7 - 64} = \sqrt{112 - 64} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. $AH$ — высота в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=8$ см. Длина высоты равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$AH = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $DAH$ катеты $DA$ и $AH$ равны: $DA = AH = 4\sqrt{3}$ см. Это означает, что треугольник $DAH$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, следовательно, его острые углы равны $45^\circ$.

Таким образом, $\angle DHA = 45^\circ$.

Искомый двугранный угол равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.