Номер 14.23, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.23. Точка $D$ равноудалена от вершин прямоугольного треугольника $ABC (\angle ACB = 90^\circ)$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$, если $AC = BC = 2$ см, а точка $D$ удалена от плоскости $ABC$ на $\sqrt{3}$ см.

Поскольку точка $D$ равноудалена от вершин треугольника $ABC$, ее проекция на плоскость $ABC$, назовем ее точка $H$, является центром описанной окружности треугольника $ABC$.

Треугольник $ABC$ является прямоугольным с $\angle ACB = 90^\circ$. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится в середине его гипотенузы. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Точка $H$ — середина гипотенузы $AB$. Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ — это длина перпендикуляра $DH$, то есть $DH = \sqrt{3}$ см.

Угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$ — это двугранный угол, образованный этими плоскостями. Его мерой является линейный угол, который мы построим. Линия пересечения плоскостей — это прямая $AC$.

Проведем в плоскости $ABC$ из точки $H$ перпендикуляр $HK$ к прямой $AC$.
Соединим точки $D$ и $K$. Так как $DH$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $HK$ — проекция наклонной $DK$ на эту плоскость, и $HK \perp AC$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $DK$ также перпендикулярна $AC$ ($DK \perp AC$).

Следовательно, угол $\angle DKH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ACD$. Найдем его из прямоугольного треугольника $DHK$ ( $\angle DHK = 90^\circ$ ).

Для этого нужно найти длину катета $HK$. Рассмотрим треугольник $ABC$ на плоскости. Так как $\triangle ABC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, то $\angle CAB = 45^\circ$. Точка $H$ — середина $AB$, значит $AH = \frac{1}{2}AB = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHK$ ( $\angle AKH = 90^\circ$ ). В нем:
$HK = AH \cdot \sin(\angle CAB) = \sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $DHK$. Мы знаем длины двух катетов: $DH = \sqrt{3}$ см и $HK = 1$ см. Найдем тангенс угла $\angle DKH$:
$\tan(\angle DKH) = \frac{DH}{HK} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, угол между плоскостями $ABC$ и $ACD$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.