Номер 14.29, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.29. Сторона $BC$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а вершина $A$ удалена от этой плоскости на $2\sqrt{2}$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$, если $AB = 8$ см, $\angle ABC = 150^\circ$.

Пусть $\phi$ — искомый угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$. По определению, угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения в одной точке. Линией пересечения плоскостей $ABC$ и $\alpha$ является прямая $BC$.

1. Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ к прямой $BC$. Так как $AH$ — высота, то $AH \perp BC$.

2. Из вершины $A$ опустим перпендикуляр $AA'$ на плоскость $\alpha$. По условию, длина этого перпендикуляра (расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$) равна $AA' = 2\sqrt{2}$ см. Точка $A'$ является проекцией точки $A$ на плоскость $\alpha$.

3. Соединим точки $A'$ и $H$. Отрезок $AH$ является наклонной к плоскости $\alpha$, а отрезок $A'H$ — ее проекцией на эту плоскость. Поскольку наклонная $AH$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости $\alpha$, то по теореме о трех перпендикулярах ее проекция $A'H$ также перпендикулярна прямой $BC$ ($A'H \perp BC$).

4. Таким образом, мы имеем два перпендикуляра ($AH$ и $A'H$) к линии пересечения $BC$, проведенные в одной точке $H$. Угол между ними, $\angle AHA'$, и является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$. Следовательно, $\phi = \angle AHA'$.

5. Рассмотрим треугольник $AHA'$. Так как $AA' \perp \alpha$, то $AA'$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $A'H$. Значит, $\triangle AHA'$ — прямоугольный с прямым углом $\angle AA'H = 90^\circ$.

6. Найдем длину высоты $AH$ треугольника $ABC$. Поскольку угол $\angle ABC = 150^\circ$ является тупым, высота $AH$ будет лежать вне треугольника $ABC$ и опускаться на продолжение стороны $BC$ за точку $B$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB = 90^\circ$). Угол $\angle ABH$ смежен с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. В этом треугольнике $AH$ — катет, противолежащий углу $30^\circ$, а $AB$ — гипотенуза.$AH = AB \cdot \sin(\angle ABH) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

7. Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $AHA'$. Мы знаем катет $AA' = 2\sqrt{2}$ см и гипотенузу $AH = 4$ см. Найдем синус угла $\phi = \angle AHA'$:$\sin(\phi) = \frac{AA'}{AH} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда следует, что угол $\phi = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.